假设内容

设总体 $X\sim N(\mu ,\phantom{0}$$\phantom{0}{\sigma }^2)$，从总体 $X$ 中抽取一个容量为 $n$ 的样本 $\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}$。

此处约定 $\sigma$ 已知，并对未知参数 $\mu$ 作出双边假设：

$$H_0:\mu ={\mu }_0,H_1:\mu \ne {\mu }_0$$

现对原假设 $H_0$ 进行假设检验。

构造检验统计量

从样本均值 $\overline{X}$ 出发，构造检验统计量 $T$。

根据正态总体的抽样分布：单总体情形有

$$\overline{X}\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$$

故构造

$$T=\frac{\overline{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$$

根据显著性水平确定拒绝域

对于给定的显著性水平 $\alpha$，确定拒绝域 $W_{\alpha }$ 的形式和临界值。

1. 确定形式：在原假设 $H_0$ 成立条件下，统计量 $T$ 偏离中心较远的可能性很小，故 $W_{\alpha }$ 的形式为双边拒绝域 $(-\mathrm{\infty },\phantom{0}$$\phantom{0}a)\cup (b,\phantom{0}$$\phantom{0}+\phantom{0}$$\phantom{0}\mathrm{\infty })$；
2. 确定临界值：要使 ${\beta }_1=\phantom{0}$$\phantom{0}\mathbb{P}(T\in W_{\alpha }\mid H_0)=\phantom{0}$$\phantom{0}\alpha$，则取 $a=\phantom{0}$$\phantom{0}-\phantom{0}$$\phantom{0}{u}_{\alpha /2},\phantom{0}$$\phantom{0}b=\phantom{0}$$\phantom{0}{u}_{\alpha /2}$。$u_m$ 满足 $\mathbb{P}(T>u_m)=\phantom{0}$$\phantom{0}m$。

故拒绝域为 $W_{\alpha }=\phantom{0}$$\phantom{0}(-\mathrm{\infty },\phantom{0}$$\phantom{0}-\phantom{0}$$\phantom{0}{u}_{\alpha /2})\cup (u_{\alpha /2},\phantom{0}$$\phantom{0}+\phantom{0}$$\phantom{0}\mathrm{\infty })$。

结论

当检验统计量 $T$ 的观测值 $T_0\in W_{\alpha }$ 时拒绝原假设 $H_0$，否则接受原假设 $H_0$。