二维离散型随机变量函数的分布

对于二维离散型随机变量 $(X,\phantom{0}$$\phantom{0}Y)$，设 $Z=\phantom{0}$$\phantom{0}g(X,\phantom{0}$$\phantom{0}Y)$，则 $Z$ 的分布列为

$$\mathbb{P}(Z=z_k)=\sum _{g(x_i,y_j)=z_k}\mathbb{P}(X=x_i,Y=y_j)$$

若对于不同的 $(x_i,\phantom{0}$$\phantom{0}{y}_j)$，$g(x_i,\phantom{0}$$\phantom{0}{y}_j)$ 互不相同，则

$$\mathbb{P}(Z=g(x_i,y_j))=p_{ij}$$

二维连续型随机变量函数的分布

对于二维连续型随机变量 $(X,\phantom{0}$$\phantom{0}Y)$，设 $Z=\phantom{0}$$\phantom{0}g(X,\phantom{0}$$\phantom{0}Y)$，则 $Z$ 的分布函数为

$$F_Z(z)=\mathbb{P}(Z\le z)=\mathbb{P}(g(X,Y)\le z)={\iint }_{g(x,y)\le z}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

$Z$ 的概率密度函数为其分布函数的广义导数。

极值的分布

设随机变量 $X,\phantom{0}$$\phantom{0}Y$ 相互独立，则 $M=\phantom{0}$$\phantom{0}max\{X,Y\}$ 和 $N=\phantom{0}$$\phantom{0}min\{X,Y\}$ 的分布函数为

$$F_M(x)=F_X(x)F_Y(x)$$$$F_N(x)=1-(1-F_X(x))(1-F_Y(y))$$

证

$$F_M(u)=\mathbb{P}(max\{X,Y\}\le u)=\mathbb{P}(X\le u,Y\le u)=F_X(u)F_Y(u)$$$$\begin{array}{rl}{F}_N(u)& =\mathbb{P}(min\{X,Y\}\le u)\\ & =1-\mathbb{P}(min\{X,Y\}>u)\\ & =1-\mathbb{P}(X>u,Y>u)\\ & =1-\mathbb{P}(X>u)\mathbb{P}(Y>u)\\ & =1-(1-F_X(u))(1-F_Y(u))\end{array}$$

和的分布

设有随机变量 $X,\phantom{0}$$\phantom{0}Y$，则 $Z=\phantom{0}$$\phantom{0}X+\phantom{0}$$\phantom{0}Y$ 的概率密度函数为

$$f_Z(z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x,z-x)\mathrm{d}x={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(z-y,y)\mathrm{d}y$$

证

$$\begin{array}{rl}{F}_Z(z)& =\mathbb{P}(X+Y\le z)={\iint }_{x+y\le z}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_{x\le z-y}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\mathrm{d}y{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{z-y}f(x,y)\mathrm{d}x\end{array}$$$$f_Z(z)=\frac{\mathrm{d}{F}_Z(z)}{\mathrm{d}z}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\mathrm{d}y\cdot f(x,z-y)$$

同理

$$f_Z(z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\mathrm{d}x\cdot f(x,z-x)$$

可加性

可加性

分布 $P$ 具有可加性，当且仅当：若随机变量 $X_1,\phantom{0}$$\phantom{0}{X}_2,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots ,\phantom{0}$$\phantom{0}{X}_n$ 相互独立且均服从分布 $P$，则 $\sum _{i=1}^n{X}_i$ 仍服从分布 $P$。

二项分布的可加性

设 $X\sim B(n_1,\phantom{0}$$\phantom{0}p),\phantom{0}$$\phantom{0}Y\sim B(n_2,\phantom{0}$$\phantom{0}p)$ 相互独立，则

$$X+Y\sim B(n_1+n_2,p)$$

泊松分布的可加性

设 $X\sim P({\lambda }_1),\phantom{0}$$\phantom{0}Y\sim P({\lambda }_2)$ 相互独立，则

$$X+Y\sim P({\lambda }_1+{\lambda }_2)$$

正态分布的可加性

设 $X\sim N({\mu }_1,\phantom{0}$$\phantom{0}{\sigma }_1),\phantom{0}$$\phantom{0}Y\sim N({\mu }_2,\phantom{0}$$\phantom{0}{\sigma }_2)$ 相互独立，则

$$aX+bY\sim N(a{\mu }_1+b{\mu }_2,a^2{\sigma }_1^2+b^2{\sigma }_2^2)$$