Skip to content

二维随机变量函数的分布

2025-06-04

二维离散型随机变量函数的分布

对于二维离散型随机变量 (X,Y),设 Z=g(X,Y),则 Z分布列

P(Z=zk)=g(xi,yj)=zkP(X=xi,Y=yj)

若对于不同的 (xi,yj)g(xi,yj) 互不相同,则

P(Z=g(xi,yj))=pij

二维连续型随机变量函数的分布

对于二维连续型随机变量 (X,Y),设 Z=g(X,Y),则 Z分布函数

FZ(z)=P(Zz)=P(g(X,Y)z)=g(x,y)zf(x,y)dxdy

Z概率密度函数为其分布函数的广义导数。

极值的分布

设随机变量 X,Y 相互独立,则 M=max{X,Y}N=min{X,Y} 的分布函数为

FM(x)=FX(x)FY(x)FN(x)=1(1FX(x))(1FY(y))
FM(u)=P(max{X,Y}u)=P(Xu,Yu)=FX(u)FY(u)FN(u)=P(min{X,Y}u)=1P(min{X,Y}>u)=1P(X>u,Y>u)=1P(X>u)P(Y>u)=1(1FX(u))(1FY(u))

和的分布

设有随机变量 X,Y,则 Z=X+Y概率密度函数

fZ(z)=+f(x,zx)dx=+f(zy,y)dy
FZ(z)=P(X+Yz)=x+yzf(x,y)dxdy=xzyf(x,y)dxdy=+dyzyf(x,y)dxfZ(z)=dFZ(z)dz=+dyf(x,zy)

同理

fZ(z)=+dxf(x,zx)

可加性

可加性
分布 P 具有可加性,当且仅当:若随机变量 X1,X2,,Xn 相互独立且均服从分布 P,则 i=1nXi 仍服从分布 P

二项分布的可加性

XB(n1,p),YB(n2,p) 相互独立,则

X+YB(n1+n2,p)

泊松分布的可加性

XP(λ1), YP(λ2) 相互独立,则

X+YP(λ1+λ2)

正态分布的可加性

XN(μ1,σ1),YN(μ2,σ2) 相互独立,则

aX+bYN(aμ1+bμ2,a2σ12+b2σ22)