插值定义

设 $y=\phantom{0}$$\phantom{0}f(x)$ 在区间 $[a,\phantom{0}$$\phantom{0}b]$ 上有定义，且在点 $a\le x_0<x_1<\cdots <x_n\le b$ 上的值 $y_0,\phantom{0}$$\phantom{0}{y}_1,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots ,\phantom{0}$$\phantom{0}{y}_n$ 已知。

插值节点 $x_i$

$f(x)$ 已知值的自变量输入。

插值区间 $[a,\phantom{0}$$\phantom{0}b]$

包含所有插值节点的区间。

插值函数 $P(x)$

在所有插值节点 $x_i$ 处都与 $y_i$ 相同的简单函数。

$$P(x_i)=y_i,i=0,1,\cdots ,n$$

插值多项式 $P(x)$

插值函数 $P(x)$ 为多项式形式。$$P(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n$$

插值法

求插值函数的方法。

多项式插值

求得的插值函数是插值多项式。

分段插值

求得的插值函数是分段的多项式。

三角插值

求得的插值函数是三角多项式^[1]。

多项式插值定理

经过相同 $n+\phantom{0}$$\phantom{0}1$ 个点的 $n$ 次插值多项式唯一。

证

设 $n$ 次插值多项式

$$P(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n$$

经过 $n+\phantom{0}$$\phantom{0}1$ 个点 $\{(x_i,y_i){\}}_{i=0}^n$，并且 $x_i$ 互异，可以得到 $n+\phantom{0}$$\phantom{0}1$ 元线性方程组

$$\{\begin{array}{l}{a}_0+a_1{x}_0+\cdots +a_n{x}_0^n=y_0\\ a_0+a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_1^n=y_1\\ ⋮\\ a_0+a_1{x}_n+\cdots +a_n{x}_n^n=y_n\end{array}$$

将 $a_0,\phantom{0}$$\phantom{0}{a}_1,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots ,\phantom{0}$$\phantom{0}{a}_n$ 视为待求解的变量，则系数矩阵为

$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}1& x_0& \cdots & x_0^n\\ 1& x_1& \cdots & x_1^n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& x_n& \cdots & x_n^n\end{array}\right]$$

该矩阵为范德蒙德（Vandermonde）矩阵。由于 $x_i$ 互异，故

$$det\mathbf{A}=\prod _{i<j}(x_j-x_i)\ne 0$$

故线性方程组的解 $a_0,\phantom{0}$$\phantom{0}{a}_1,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots ,\phantom{0}$$\phantom{0}{a}_n$ 存在且唯一。

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1. 三角多项式：形如 $T_n(x)=\phantom{0}$$\phantom{0}{a}_0+\phantom{0}$$\phantom{0}\sum _{k=1}^n(a_k\cos (kx)+b_k\sin (kx))$ 的多项式。 ↩︎