随机变量

随机变量 $X,$$Y,$$\cdots$

对于随机试验 $E$ 的样本空间 $\mathrm{\Omega }$，任取 $\omega \in \mathrm{\Omega }$，都有唯一确定的实数 $X(\omega )$ 与之对应，即 $X:\mathrm{\Omega }\mapsto \mathbb{R}$。

离散型随机变量 $X,$$Y,$$\cdots$

$\{X(\omega )\mid \omega \in \mathrm{\Omega }\}$ 是有限或可列的。

非离散型随机变量 $X,$$Y,$$\cdots$

$\{X(\omega )\mid \omega \in \mathrm{\Omega }\}$ 是无限且不可列的。

概率分布（分布）

随机变量的取值规律。

INFO

对随机变量进行数学约束，可以形成随机事件。例如：

• $\{\omega \mid X(\omega )>0\}$ 是一个随机事件，简记为 $\{X>0\}$；
• $\{\omega \mid X(\omega )=Y(\omega )\}$ 是一个随机事件，简记为 $\{X=Y\}$。

分布函数

分布函数 $F_X(x)$

随机变量 $X\le x$ 的概率，即 $F_X:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}$，$F_X(x)=$$\mathbb{P}(X\le x)$。

性质 1

$F_X(x)$ 是单调不减函数，即 $\mathrm{\forall }{x}_1<x_2,$$F_X(x_1)\le F(x_2)$。

性质 2

$F_X(x)$ 非负有界，即

• $0\le F_X(x)\le 1$；
• $F_X(-$$\mathrm{\infty })=$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{F}_X(x)=$$0$；
• $F_X(+$$\mathrm{\infty })=$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{F}_X(x)=$$1$。

性质 3

$F_X(x)$ 是右连续函数，即 $F_X(x^{+}$$)=$$\underset{u\to x^{+}}{lim}{F}_X(u)=$$F_X(x)$。

INFO

• $\mathbb{P}(X>x)=$$1-$$F_X(x)$
• $\mathbb{P}(X<x)=$$F_X(x^{-}$$)$
• $\mathbb{P}(X=$$x)=$$F_X(x)-$$F_X(x^{-}$$)$
• $\mathbb{P}(x_1<X\le x_2)=$$F_X(x_2)-$$F_X(x_1)$
• $\mathbb{P}(x_1\le X\le x_2)=$$F_X(x_2)-$$F_X(x_1^{-}$$)$
• $\mathbb{P}(x_1<X<x_2)=$$F(x_2^{-}$$)-$$F_X(x^1)$