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随机变量与分布函数

2025-06-03

随机变量

随机变量 X

对于随机试验 E样本空间 Ω,任取 ωΩ,都有唯一确定的实数 X(ω) 与之对应,即 X:ΩR

离散型随机变量
{X(ω)ωΩ} 是有限或可列的。
非离散型随机变量
{X(ω)ωΩ} 是无限且不可列的。
概率分布(分布)

随机变量的取值规律。

INFO

随机变量进行数学约束,可以形成随机事件。例如:

  • {ωX(ω)>0} 是一个随机事件,简记为 {X>0}
  • {ωX(ω)=Y(ω)} 是一个随机事件,简记为 {X=Y}

分布函数

分布函数 FX(x)

随机变量 Xx 的概率,即 FX:RRFX(x)=P(Xx)

性质 1
FX(x) 是单调不减函数,即 x1<x2,FX(x1)F(x2)
性质 2
FX(x) 非负有界,即
  • 0FX(x)1
  • FX()=limxFX(x)=0
  • FX(+)=limx+FX(x)=1
性质 3
FX(x) 是右连续函数,即 FX(x+)=limux+FX(u)=FX(x)
INFO
  • P(X>x)=1FX(x)
  • P(X<x)=FX(x)
  • P(X=x)=FX(x)FX(x)
  • P(x1<Xx2)=FX(x2)FX(x1)
  • P(x1Xx2)=FX(x2)FX(x1)
  • P(x1<X<x2)=F(x2)FX(x1)