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参数估计的基本概念

2025-06-06

未知参数

未知参数(参数) θ=(θ1,θ2,,θk)
总体 X分布函数 FX 中未知的常数组成的向量。
参数空间 Θ
未知参数的可能取值范围。

参数估计

参数估计

总体 X样本估计未知参数的值。

点估计

用一个统计量 T 估计未知参数

估计量(估计)θ^=T(X1,X2,,Xn)
统计量
估计值(估计)θ^=T(x1,x2,,xn)
估计量观测值
区间估计

用两个统计量 T1,T2 估计未知参数的范围区间 (T1,T2)

估计量的评价标准

均方误差

均方误差 MSE(θ^)
MSE(θ^)=E[(θ^θ)2]
推论
MSE(θ^)=E[(θ^θ)2]=E[(θ^E(θ^)+E(θ^)θ)2]=E[(θ^E(θ^))2+2(θ^E(θ^))(E(θ^)θ)+(E(θ^)θ)2]=E[(θ^E(θ^))2]+2(E(θ^)θ)E[θ^E(θ^)]+E[(E(θ^)θ)2]=V(θ^)+(E(θ^)θ)2
TIP

E(θ^)θ 都是常数向量,θ^ 的本质是随机变量向量。

无偏性

偏差
E(θ^)θ
无偏估计量 θ^
满足 E(θ^)=θ估计量 θ^
渐进无偏估计量 θ^
满足 limnE(θ^)=θ估计量 θ^,其中 n样本容量

有效性

有效
θ^1,θ^2未知参数 θ 的两个无偏估计量,若 V(θ^1)<V(θ^2) 则称 θ^1θ^2 有效

一致性

一致估计量(相合估计量)θ^

满足 ε>0,limnP(|θ^nθ|<ε)=1θ^nPθ估计量 θ^

定理 1
limnE(θ^n)=θlimnV(θ^n)=0,则 θ^nθ一致估计量
定理 2
θ^nθ一致估计量g(x)x=θ 处连续,则 g(θ^)g(θ)一致估计量