假设检验

原假设（零假设）$H_0$

命题。

备择假设（对立假设）$H_1$

原假设的否定命题，即 $H_1:\mathrm{\neg }{H}_0$。

假设检验

设总体 $X\sim f_X(x;\theta )$ 含有未知参数 $\theta$。先提出关于 $\theta$ 的原假设，再检验其正确性，从而「拒绝」或「接受」该假设。

双边检验（双边假设）

$H_0:\theta =\phantom{0}$$\phantom{0}{\theta }_0,\phantom{0}$$\phantom{0}{H}_1:\theta \ne \phantom{0}$$\phantom{0}{\theta }_0$。

单边检验（单边假设）

左边检验（左边假设）

$H_0:\theta \ge {\theta }_0,\phantom{0}$$\phantom{0}{H}_1:\theta <{\theta }_0$。

右边检验（左边假设）

$H_0:\theta \le {\theta }_0,\phantom{0}$$\phantom{0}{H}_1:\theta >{\theta }_0$。

INFO

原假设的选择应遵循以下原则：

1. 相等性结论作为原假设；
2. 常识性结论作为原假设；
3. 需要充分理由支持的结论作为备择假设，如「新药比旧药好」等。

假设检验思想

小概率事件原理

「小概率事件」在一次试验中几乎不可能发生。

假定原假设 $H_0$ 成立，观察此时样本观测值是否导致「小概率事件」发生。若发生，则拒绝。

检验统计量 $T(X_1,\phantom{0}$$\phantom{0}{X}_2,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots ,\phantom{0}$$\phantom{0}{X}_n)$

用于假设检验的统计量。

拒绝域 $W_{\alpha }$

当检验统计量 $T\in W_{\alpha }$ 时应拒绝原假设。

双边拒绝域 $W_{\alpha }$

$W_{\alpha }=\phantom{0}$$\phantom{0}(-\mathrm{\infty },\phantom{0}$$\phantom{0}a)\cup (b,\phantom{0}$$\phantom{0}+\phantom{0}$$\phantom{0}\mathrm{\infty })$。

单边拒绝域 $W_{\alpha }$

左边拒绝域 $W_{\alpha }$

$W_{\alpha }=\phantom{0}$$\phantom{0}(-\mathrm{\infty },\phantom{0}$$\phantom{0}a)$。

右边拒绝域 $W_{\alpha }$

$W_{\alpha }=\phantom{0}$$\phantom{0}(b,\phantom{0}$$\phantom{0}+\phantom{0}$$\phantom{0}\mathrm{\infty })$。

临界值

拒绝域的有限端点，如双边拒绝域中的 $a,\phantom{0}$$\phantom{0}b$。

接受域

拒绝域的补集。

$U$ 检验

检验统计量 $T\sim N(\mu ,\phantom{0}$$\phantom{0}{\sigma }^2)$ 服从正态分布的假设检验。

${\chi }^2$ 检验

检验统计量 $T\sim {\chi }^2(n)$ 服从χ² 分布的假设检验。

$t$ 检验

检验统计量 $T\sim t(n)$ 服从t 分布的假设检验。

$F$ 检验

检验统计量 $T\sim F(m,\phantom{0}$$\phantom{0}n)$ 服从F 分布的假设检验。

假设检验的两类错误

第一类错误（弃真错误）

在原假设 $H_0$ 理论上正确时拒绝 $H_0$。

第一类错误率 ${\beta }_1$

$${\beta }_1=\mathbb{P}(T\in W_{\alpha }\mid H_0)$$

第二类错误（取伪错误）

在原假设 $H_0$ 理论上错误时接受 $H_0$。

第二类错误率 ${\beta }_2$

$${\beta }_2=\mathbb{P}(T\notin W_{\alpha }\mid \mathrm{\neg }{H}_0)$$

显著性检验（奈曼和皮尔逊原则）

首先控制第一类错误率 ${\beta }_1$，在此条件下寻找第二类错误率 ${\beta }_2$ 尽可能小的假设检验。

显著性水平 $\alpha$

第一类错误率的上限。${\beta }_1\le \alpha$。

INFO

同时减少第一类错误和第二类错误的最好方法是增加样本容量。

假设检验的一般步骤

1. 根据实际问题提出原假设 $H_0$ 和备择假设 $H_1$；
2. 构造检验统计量 $T$；
3. 对于给定的显著性水平 $\alpha$ 确定拒绝域 $W_{\alpha }$：
   1. 确定拒绝域的形式（单边拒绝域，双边拒绝域）；
   2. 确定拒绝域的临界值，使得 ${\beta }_1=\phantom{0}$$\phantom{0}\mathbb{P}(T\in W_{\alpha }\mid H_0)=\phantom{0}$$\phantom{0}\alpha$。
4. 根据样本观测值计算检验统计量 $T$ 的观测值，并判断是否落入拒绝域 $W_{\alpha }$，从而拒绝或接受原假设。