Skip to content

假设检验的基本概念

2025-06-06

假设检验

原假设(零假设)H0

命题。

备择假设(对立假设)H1

原假设的否定命题,即 H1:¬H0

假设检验

总体 XfX(x;θ) 含有未知参数 θ。先提出关于 θ原假设,再检验其正确性,从而「拒绝」或「接受」该假设。

双边检验(双边假设)
H0:θ=θ0,H1:θθ0
单边检验(单边假设)
左边检验(左边假设)
H0:θθ0,H1:θ<θ0
右边检验(左边假设)
H0:θθ0,H1:θ>θ0
INFO

原假设的选择应遵循以下原则:

  1. 相等性结论作为原假设
  2. 常识性结论作为原假设
  3. 需要充分理由支持的结论作为备择假设,如「新药比旧药好」等。

假设检验思想

小概率事件原理

「小概率事件」在一次试验中几乎不可能发生。

假定原假设 H0 成立,观察此时样本观测值是否导致「小概率事件」发生。若发生,则拒绝。

检验统计量 T(X1,X2,,Xn)

用于假设检验统计量

拒绝域 Wα

检验统计量 TWα 时应拒绝原假设

双边拒绝域 Wα
Wα=(,a)(b,+)
单边拒绝域 Wα
左边拒绝域 Wα
Wα=(,a)
右边拒绝域 Wα
Wα=(b,+)
临界值
拒绝域的有限端点,如双边拒绝域中的 a,b
接受域

拒绝域的补集。

U 检验

检验统计量 TN(μ,σ2) 服从正态分布假设检验

χ2 检验

检验统计量 Tχ2(n) 服从χ² 分布假设检验

t 检验

检验统计量 Tt(n) 服从t 分布假设检验

F 检验

检验统计量 TF(m,n) 服从F 分布假设检验

假设检验的两类错误

第一类错误(弃真错误)

原假设 H0 理论上正确时拒绝 H0

第一类错误率 β1
β1=P(TWαH0)
第二类错误(取伪错误)

原假设 H0 理论上错误时接受 H0

第二类错误率 β2
β2=P(TWα¬H0)
显著性检验(奈曼和皮尔逊原则)

首先控制第一类错误率 β1,在此条件下寻找第二类错误率 β2 尽可能小的假设检验

显著性水平 α
第一类错误率的上限。β1α

假设检验的一般步骤

  1. 根据实际问题提出原假设 H0备择假设 H1
  2. 构造检验统计量 T
  3. 对于给定的显著性水平 α 确定拒绝域 Wα
    1. 确定拒绝域的形式(单边拒绝域双边拒绝域);
    2. 确定拒绝域的临界值,使得 β1=P(TWαH0)=α
  4. 根据样本观测值计算检验统计量 T观测值,并判断是否落入拒绝域 Wα,从而拒绝或接受原假设