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卡特兰数列
2021-08-23
INFO
若无特殊说明,本章涉及的变量皆为正整数。
简介
卡特兰数列同时是许多看似毫不相关的问题的解。
n
个节点能构成
Cat
n
种不同的二叉树;
n
个左括号和
n
个右括号组成的合法序列有
Cat
n
种;
n
个元素的进栈顺序为
1
,
2
,
⋯
,
n
,合法的出栈顺序有
Cat
n
种;
在圆上选择
2
n
个点成对连接,使得
n
条线段不相交的方法数为
Cat
n
;
通过若干条互不相交的对角线,把凸
n
边形拆分成若干个三角形的方案数为
Cat
n
−
2
;
在平面直角坐标系上,每一步只能向上或向右走
1
个单位,从
(
0
,
0
)
走到
(
n
,
n
)
且不接触直线
y
=
x
的路径数量为
2
Cat
n
−
1
。
通项公式
Cat
n
=
(
2
n
n
)
÷
(
n
+
1
)
=
(
2
n
n
)
−
(
2
n
n
−
1
)
递推公式
Cat
n
=
∑
i
=
0
n
−
1
Cat
i
⋅
Cat
n
−
i
+
1
附表
Cat
0
Cat
1
Cat
2
Cat
3
Cat
4
Cat
5
Cat
6
Cat
7
Cat
8
⋯
1
1
2
5
14
42
132
429
1430
⋯