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卡特兰数列

2021-08-23

INFO

若无特殊说明,本章涉及的变量皆为正整数。

简介

卡特兰数列同时是许多看似毫不相关的问题的解。

  • n 个节点能构成 Catn 种不同的二叉树;
  • n 个左括号和 n 个右括号组成的合法序列有 Catn 种;
  • n 个元素的进栈顺序为 1,2,,n,合法的出栈顺序有 Catn 种;
  • 在圆上选择 2n 个点成对连接,使得 n 条线段不相交的方法数为 Catn
  • 通过若干条互不相交的对角线,把凸 n 边形拆分成若干个三角形的方案数为 Catn2
  • 在平面直角坐标系上,每一步只能向上或向右走 1 个单位,从 (0,0) 走到 (n,n) 且不接触直线 y=x 的路径数量为 2Catn1

通项公式

Catn=(2nn)÷(n+1)=(2nn)(2nn1)

递推公式

Catn=i=0n1CatiCatni+1

附表

Cat0Cat1Cat2Cat3Cat4Cat5Cat6Cat7Cat8
112514421324291430