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未经严格证明的理论！慎用！

简介

若 构造函数 题满足

• $f^{\prime }(x)$ 的不等号与 $f(x)$ 的相同；
• $f(x_0)$ 是 $f(x)$ 的唯一定值。

则答案必为 $(x_0,\phantom{0}$$\phantom{0}+\phantom{0}$$\phantom{0}\mathrm{\infty })$。

若不等号相反，则必为 $(-\mathrm{\infty },\phantom{0}$$\phantom{0}{x}_0)$。

INFO

• $f^{\prime }(x)$ 和 $f(x)$ 必须移项至不等号左侧，且系数为正；
• 同一不等式中同时出现 $f^{\prime }(x)$ 与 $f(x)$，则此不等号应归为 $f^{\prime }(x)$；
• 若 $f(x)$ 定义域不为 $\mathbb{R}$，则答案需调整至定义域内。

原理

Under Construction ...

例 1

$f(x)$ 定义域为 $\mathbb{R},\phantom{0}$$\phantom{0}f(-1)=\phantom{0}$$\phantom{0}3,\phantom{0}$$\phantom{0}{f}^{\prime }(x)<3$，则 $f(x)>3x+\phantom{0}$$\phantom{0}6$ 的解集为

$$A.(-1,1)B.(-1,+\mathrm{\infty })C.(-\mathrm{\infty },-1)D.\mathbb{R}$$

常规解法

构造 $g(x)=\phantom{0}$$\phantom{0}f(x)-\phantom{0}$$\phantom{0}3x-\phantom{0}$$\phantom{0}6$，原问题等价于 $g(x)>0$ 的解集。

$g^{\prime }(x)=\phantom{0}$$\phantom{0}{f}^{\prime }(x)-\phantom{0}$$\phantom{0}3<0,\phantom{0}$$\phantom{0}\therefore g(x)\downarrow$。

$\because g(-1)=\phantom{0}$$\phantom{0}f(-1)+\phantom{0}$$\phantom{0}3-\phantom{0}$$\phantom{0}6=\phantom{0}$$\phantom{0}0,\phantom{0}$$\phantom{0}\therefore g(x)>0$ 时 $x<-\phantom{0}$$\phantom{0}1$，选 $C$。

速通解法

• $f^{\prime }(x)$ 的不等号为 $<$；
• $f(x)$ 的不等号为 $>$；
• $f(-1)=\phantom{0}$$\phantom{0}3$ 是唯一定值。

故答案为 $(-\mathrm{\infty },\phantom{0}$$\phantom{0}-\phantom{0}$$\phantom{0}1)$，选 $C$。

例 2

$f(x)$ 定义域为 $\mathbb{R},\phantom{0}$$\phantom{0}f(1)=\phantom{0}$$\phantom{0}3,\phantom{0}$$\phantom{0}{f}^{\prime }(x)>2$，则 $f(x)>2x+\phantom{0}$$\phantom{0}1$ 的解集为

$$A.(-\mathrm{\infty },0)B.(0,+\mathrm{\infty })C.(1,+\mathrm{\infty })D.(-\mathrm{\infty },1)$$

解

• $f^{\prime }(x)$ 的不等号为 $>$；
• $f(x)$ 的不等号为 $>$；
• $f(1)=\phantom{0}$$\phantom{0}3$ 是唯一定值。

故答案为 $(1,\phantom{0}$$\phantom{0}+\phantom{0}$$\phantom{0}\mathrm{\infty })$，选 $C$。

例 3

$f(x)$ 定义域为 $\mathbb{R},\phantom{0}$$\phantom{0}f(x)<2f^{\prime }(x),\phantom{0}$$\phantom{0}f(\ln 4)=\phantom{0}$$\phantom{0}2$，则 $f(x)<e^{\frac{x}{2}}$ 的解集为 $\underset{―}{whatthefuck}$。

解

• $f^{\prime }(x)$ 的不等号为 $>$；
• $f(x)$ 的不等号为 $<$；
• $f(\ln 4)=\phantom{0}$$\phantom{0}2$ 是唯一定值。

故答案为 $(-\mathrm{\infty },\phantom{0}$$\phantom{0}\ln 4)$。

例 4

$f(x)$ 定义域为 $\mathbb{R},\phantom{0}$$\phantom{0}f(x)>f^{\prime }(x),\phantom{0}$$\phantom{0}y=\phantom{0}$$\phantom{0}f(x)+\phantom{0}$$\phantom{0}2019$ 为奇函数，则 $f(x)+\phantom{0}$$\phantom{0}2019e^x<0$ 的解集为 $\underset{―}{whatthefuck}$。

解

由奇函数性质得，$f(0)+\phantom{0}$$\phantom{0}2019=\phantom{0}$$\phantom{0}0,\phantom{0}$$\phantom{0}\therefore f(0)=\phantom{0}$$\phantom{0}-\phantom{0}$$\phantom{0}2019$。

• $f^{\prime }(x)$ 的不等号为 $<$；
• $f(x)$ 的不等号为 $<$；
• $f(0)=\phantom{0}$$\phantom{0}-\phantom{0}$$\phantom{0}2019$ 是唯一定值。

故答案为 $(0,\phantom{0}$$\phantom{0}+\phantom{0}$$\phantom{0}\mathrm{\infty })$。

例 5

$f(x)$ 定义域为 $\mathbb{R},\phantom{0}$$\phantom{0}{f}^{\prime }(x)-\phantom{0}$$\phantom{0}f(x)>0,\phantom{0}$$\phantom{0}f(2021)=\phantom{0}$$\phantom{0}{e}^{2021}$，则 $f({\displaystyle \frac{1}{3}}\ln x)<\sqrt[3]{x}$ 的解集为

$$A.(e^{6063},+\mathrm{\infty })B.(0,e^{2021})C.(e^{2021},+\mathrm{\infty })D.(0,e^{6063})$$

解

令 $t=\phantom{0}$$\phantom{0}{\displaystyle \frac{1}{3}}\ln x$，则 $x=\phantom{0}$$\phantom{0}{e}^{3t}$，即求 $f(t)<\sqrt[3]{e^{3t}}=\phantom{0}$$\phantom{0}{e}^t$ 的解集。

• $f^{\prime }(t)$ 的不等号为 $>$；
• $f(t)$ 的不等号为 $<$；
• $f(2021)=\phantom{0}$$\phantom{0}{e}^{2021}$ 是唯一定值。

故 $f(t)<e^t$ 的解集为 $(-\mathrm{\infty },\phantom{0}$$\phantom{0}2021)$。

$\therefore {\displaystyle \frac{1}{3}}\ln x\in (-\mathrm{\infty },\phantom{0}$$\phantom{0}2021)$，解得 $x\in (0,\phantom{0}$$\phantom{0}{e}^{6063})$。选 $D$。