二项式定理

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若无特殊说明，本章涉及的变量皆为正整数。

简介

(a + b)^{n} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) a^{n - i} b^{i}

使用数学归纳法。

设 $n = k$ 时二项式定理成立，考察 $n = k + 1$ 时是否也成立：

\begin{aligned} = (a + b)^{k + 1} \\ = (a + b) \cdot (a + b)^{k} \\ = a (a + b)^{k} + b (a + b)^{k} \\ = a \sum_{i = 0}^{k} (\binom{k}{i}) a^{k - i} b^{i} + b \sum_{j = 0}^{k} (\binom{k}{j}) a^{k - j} b^{j} \\ = \sum_{i = 0}^{k} (\binom{k}{i}) a^{k - i + 1} b^{i} + \sum_{j = 0}^{k} (\binom{k}{j}) a^{k - j} b^{j + 1} & 将 a, b 乘进去 \\ = a^{k + 1} + \sum_{i = 1}^{k} (\binom{k}{i}) a^{k - i + 1} b^{i} + \sum_{j = 0}^{k} (\binom{k}{j}) a^{k - j} b^{j + 1} & 提出 i = 0 的项 \\ = a^{k + 1} + \sum_{i = 1}^{k} (\binom{k}{i}) a^{k - i + 1} b^{i} + \sum_{λ = 1}^{k + 1} (\binom{k}{λ - 1}) a^{k - λ + 1} b^{λ} & 设 λ = j + 1 ，代入 \\ = a^{k + 1} + \sum_{i = 1}^{k} (\binom{k}{i}) a^{k - i + 1} b^{i} + b^{k + 1} + \sum_{λ = 1}^{k} (\binom{k}{λ - 1}) a^{k - λ + 1} b^{λ} & 提出 λ = k + 1 的项 \\ = a^{k + 1} + b^{k + 1} + \sum_{i = 1}^{k} (\binom{k + 1}{i}) a^{k + 1 - i} b^{i} & 套用帕斯卡法则 \\ = \sum_{i = 0}^{k + 1} (\binom{k + 1}{i}) a^{k + 1 - i} b^{i} \end{aligned}

$∴$ 二项式定理满足递推成立关系：

n = k 时成立 ⟹ n = k + 1 时成立

$∵ n = 1$ 时 $(a + b)^{1} = \sum_{i = 0}^{1} (\binom{n}{i}) a^{n - i} b^{i} = a + b$ 成立，

$∴$ 二项式定理在 $n = 1$ 之后的任何整数都成立。