基本思想

在积分区间内，等距地采样求积节点，并使用插值型积分公式。

牛顿-柯特斯公式

设将积分区间 $[a,\phantom{0}$$\phantom{0}b]$ 划分为 $n$ 等份，步长 $h=\phantom{0}$$\phantom{0}{\displaystyle \frac{b-a}{n}}$，选取等距节点 $x_k=\phantom{0}$$\phantom{0}a+\phantom{0}$$\phantom{0}kh$，并使用拉格朗日插值：

$$L_n(x)=\sum _{k=0}^{n}f(x_k){\ell }_k(x)$$

用 $L_n(x)$ 替代被积函数 $f(x)$ 进行积分：

$${\int }_a^b{L}_n(x)\mathrm{d}x=\sum _{k=0}^{n}f(x_k){\int }_a^b{\ell }_k(x)\mathrm{d}x$$

其中

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^b{\ell }_k(x)\mathrm{d}x& ={\int }_a^b\prod _{\begin{array}{c}i=0\\ i\ne k\end{array}}^n\frac{x-x_i}{x_k-x_i}\mathrm{d}x\stackrel{x=a+th}{=====}{\int }_0^n\prod _{\begin{array}{c}i=0\\ i\ne k\end{array}}^n\frac{(t-i)h}{(k-i)h}h\mathrm{d}t\\ & =h\cdot \prod _{\begin{array}{c}i=0\\ i\ne k\end{array}}^n\frac{1}{k-i}{\int }_0^n\prod _{\begin{array}{c}i=0\\ i\ne k\end{array}}^n(t-i)\mathrm{d}t\\ & =\frac{b-a}{n}\cdot \frac{(-1{)}^{n-k}}{k!(n-k)!}{\int }_0^n\prod _{\begin{array}{c}i=0\\ i\ne k\end{array}}^n(t-i)\mathrm{d}t\\ & \triangleq (b-a)\cdot C_k^{(n)}\end{array}$$

故原积分可写作

$$(b-a)\sum _{k=0}^n{C}_k^{(n)}f(x_k)$$

柯特斯系数 $C_k^{(n)}$

仅取决于 $n$ 和 $k$，可以通过查表得到。

$$C_k^{(n)}=\frac{(-1{)}^{n-k}}{nk!(n-k)!}{\int }_0^n\prod _{\begin{array}{c}i=0\\ i\ne k\end{array}}^n(t-i)\mathrm{d}t$$

性质

$$\sum _{k=0}^n{C}_k^{(n)}=1$$

证

由柯特斯系数的推导过程有

$${\int }_a^b{\ell }_k(x)\mathrm{d}x=(b-a)\cdot C_k^{(n)}$$

故

$$\sum _{k=0}^n{C}_k^{(n)}=\sum _{k=0}^n\frac{{\int }_a^b{\ell }_k(x)\mathrm{d}x}{b-a}=\frac{{\int }_a^b\sum _{k=0}^n{\ell }_k(x)\mathrm{d}x}{b-a}$$

根据拉格朗日插值：基函数完备性有 $\sum _{k=0}^n{\ell }_k(x)=\phantom{0}$$\phantom{0}1$，故

$$\sum _{k=0}^n{C}_k^{(n)}=\frac{{\int }_a^b\mathrm{d}x}{b-a}=1$$

牛顿-柯特斯公式 $I_n(f)$

$$I_n(f)=(b-a)\sum _{k=0}^n{C}_k^{(n)}f(x_k)$$

牛顿-柯特斯公式余项

设 $f^{(n)}(x)$ 在 $[a,\phantom{0}$$\phantom{0}b]$ 上连续，步长 $h=\phantom{0}$$\phantom{0}{\displaystyle \frac{b-a}{n}}$，选取等距节点 $x_k=\phantom{0}$$\phantom{0}a+\phantom{0}$$\phantom{0}kh$，采用 $n$ 次拉格朗日插值近似 $f(x)$ 产生的余项为

$$R_n(x)=f(x)-L_n(x)=\frac{f^{(n+1)}({\xi }_x)}{(n+1)!}\cdot \prod _{i=0}^n(x-x_i),{\xi }_x\in (a,b)$$

牛顿-柯特斯公式产生的余项为

$$\begin{array}{rl}R(I_n)& ={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x-{\int }_a^b{L}_n(x)\mathrm{d}x={\int }_a^b{R}_n(x)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_a^b\frac{f^{(n+1)}({\xi }_x)}{(n+1)!}\prod _{i=0}^n(x-x_i)\mathrm{d}x,{\xi }_x\in (a,b)\end{array}$$

推论

设 $f^{(n)}(x)$ 在 $[a,\phantom{0}$$\phantom{0}b]$ 上连续，则牛顿-柯特斯公式至少具有 $n$ 次代数精度，并且 $n$ 为偶数时至少具有 $n+\phantom{0}$$\phantom{0}1$ 次代数精度。

证

根据拉格朗日插值：推论 2，$n$ 次拉格朗日插值对 $n$ 次内多项式都是精确的，因此牛顿-柯特斯公式至少具有 $n$ 次代数精度。

当 $n$ 为偶数时，令 $f(x)=\phantom{0}$$\phantom{0}{x}^{n+1}$，此时有 $f^{(n+1)}\equiv (n+\phantom{0}$$\phantom{0}1)!$，故

$$\begin{array}{rl}R(I_n)& \propto {\int }_a^b\prod _{i=0}^n(x-x_i)\mathrm{d}x\stackrel{x=a+th}{=====}{\int }_0^n[\prod _{i=0}^n(th-ih)]h\mathrm{d}t\\ & =h^{n+1}{\int }_0^n\prod _{i=0}^n(t-i)\mathrm{d}t\stackrel{\begin{array}{c}q=t-n/2\\ k=i-n/2\end{array}}{=====}{h}^{n+1}{\int }_{-n/2}^{n/2}\prod _{k=-n/2}^{n/2}(q-k)\mathrm{d}q\end{array}$$

设 $\phi (q)=\phantom{0}$$\phantom{0}\prod _{k=-n/2}^{n/2}(q-\phantom{0}$$\phantom{0}k)$，发现 $\phi (-q)=\phantom{0}$$\phantom{0}-\phantom{0}$$\phantom{0}\phi (q)$，故 $\phi (q)$ 为奇函数，以上积分为 $0$。

故 $n$ 为偶数时，牛顿-柯特斯公式余项对于 $n+\phantom{0}$$\phantom{0}1$ 次多项式始终是精确的，至少具有 $n+\phantom{0}$$\phantom{0}1$ 次代数精度。

柯特斯系数表

$n$	$C_0^{(n)}$	$C_1^{(n)}$	$C_2^{(n)}$	$C_3^{(n)}$	$C_4^{(n)}$	$C_5^{(n)}$	$C_6^{(n)}$	$C_7^{(n)}$	$C_8^{(n)}$
$1$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$
$2$	${\displaystyle \frac{1}{6}}$	${\displaystyle \frac{4}{6}}$	${\displaystyle \frac{1}{6}}$
$3$	${\displaystyle \frac{1}{8}}$	${\displaystyle \frac{3}{8}}$	${\displaystyle \frac{3}{8}}$	${\displaystyle \frac{1}{8}}$
$4$	${\displaystyle \frac{7}{90}}$	${\displaystyle \frac{32}{90}}$	${\displaystyle \frac{12}{90}}$	${\displaystyle \frac{32}{90}}$	${\displaystyle \frac{7}{90}}$
$5$	${\displaystyle \frac{19}{288}}$	${\displaystyle \frac{75}{288}}$	${\displaystyle \frac{50}{288}}$	${\displaystyle \frac{50}{288}}$	${\displaystyle \frac{75}{288}}$	${\displaystyle \frac{19}{288}}$
$6$	${\displaystyle \frac{41}{840}}$	${\displaystyle \frac{216}{840}}$	${\displaystyle \frac{27}{840}}$	${\displaystyle \frac{272}{840}}$	${\displaystyle \frac{27}{840}}$	${\displaystyle \frac{216}{840}}$	${\displaystyle \frac{41}{840}}$
$7$	${\displaystyle \frac{751}{17280}}$	${\displaystyle \frac{3577}{17280}}$	${\displaystyle \frac{1323}{17280}}$	${\displaystyle \frac{2989}{17280}}$	${\displaystyle \frac{2989}{17280}}$	${\displaystyle \frac{1323}{17280}}$	${\displaystyle \frac{3577}{17280}}$	${\displaystyle \frac{751}{17280}}$
$8$	${\displaystyle \frac{989}{28350}}$	${\displaystyle \frac{5888}{28350}}$	${\displaystyle \frac{-928}{28350}}$	${\displaystyle \frac{10496}{28350}}$	${\displaystyle \frac{-4540}{28350}}$	${\displaystyle \frac{10496}{28350}}$	${\displaystyle \frac{-928}{28350}}$	${\displaystyle \frac{5888}{28350}}$	${\displaystyle \frac{989}{28350}}$

梯形公式

$n=\phantom{0}$$\phantom{0}1$ 时的牛顿-柯特斯公式。

取 $x_0=\phantom{0}$$\phantom{0}a$，$x_1=\phantom{0}$$\phantom{0}b$，$h=\phantom{0}$$\phantom{0}b-\phantom{0}$$\phantom{0}a$，柯特斯系数为

$$\begin{array}{c}{C}_0^{(1)}=-{\int }_0^1(t-1)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\\ C_1^{(1)}={\int }_0^1(t-0)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\end{array}$$

求积公式为

$$I_1(f)=(b-a)[\frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)]$$

余项

$$R(I_1)={\int }_a^b\frac{f^{″}({\xi }_x)}{2!}(x-a)(x-b)\mathrm{d}x=-\frac{(b-a{)}^3}{12}{f}^{″}(\eta ),\eta \in (a,b)$$

通过「带权积分中值定理^[1]」将 $f^{″}({\xi }_x)$ 常数化为 $f^{″}(\eta )$。

辛普森公式

$n=\phantom{0}$$\phantom{0}2$ 时的牛顿-柯特斯公式。

取 $x_0=\phantom{0}$$\phantom{0}a$，$x_1=\phantom{0}$$\phantom{0}{\displaystyle \frac{a+b}{2}}$，$x_2=\phantom{0}$$\phantom{0}b$，$h=\phantom{0}$$\phantom{0}{\displaystyle \frac{b-a}{2}}$，柯特斯系数为

$$\begin{array}{c}{C}_0^{(2)}=\frac{(-1{)}^{2-0}}{2\times 0!\times (2-0)!}{\int }_0^2(t-1)(t-2)\mathrm{d}t=\frac{1}{6}\\ C_1^{(2)}=\frac{(-1{)}^{2-1}}{2\times 1!\times (2-1)!}{\int }_0^2(t-0)(t-2)\mathrm{d}t=\frac{2}{3}\\ C_2^{(2)}=\frac{(-1{)}^{2-2}}{2\times 2!\times (2-2)!}{\int }_0^2(t-0)(t-1)\mathrm{d}t=\frac{1}{6}\end{array}$$

求积公式为

$$I_2(f)=(b-a)[\frac{1}{6}f(a)+\frac{2}{3}f\left(\frac{a+b}{2}\right)+\frac{1}{6}f(b)]$$

余项

$$\begin{array}{rl}R(I_2)& ={\int }_a^b\frac{f^{(3)}({\xi }_x)}{3!}(x-a)(x-\frac{a+b}{2})(x-b)\mathrm{d}x\\ & =-\frac{b-a}{180}{\left(\frac{b-a}{2}\right)}^4{f}^{(4)}(\eta ),\eta \in (a,b)\end{array}$$

牛顿-柯特斯公式稳定性

在牛顿-柯特斯公式中

$$I_n(f)=(b-a)\sum _{k=0}^n{C}_k^{(n)}f(x_k)$$

其中柯特斯系数有表可查，可以认为是准确的，故其主要误差来源为函数值 $f(x_k)$ 的误差，即

$$\begin{array}{rl}|e[I_n(f)]|& \le (b-a)\sum _{k=0}^n\left|C_k^{(n)}\right|\cdot |e[f(x_k)]|\\ & \le (b-a)\cdot \epsilon \sum _{k=0}^n\left|C_k^{(n)}\right|,\epsilon =max\{|e[f(x_k)]|\}\end{array}$$

此时对于一个确定的 $n$：

1. 若柯特斯系数 $C_k^{(n)}$ 均非负，根据柯特斯系数：性质有 $\sum _{k=0}^n\left|C_k^{(n)}\right|=\phantom{0}$$\phantom{0}1$，则误差限可取

   $$\epsilon [I_n(f)]=(b-a)\cdot \epsilon ,\epsilon =max\{|e[f(x_k)]|\}$$

   可以认为，此时牛顿-柯特斯公式是「稳定」的。

2. 若柯特斯系数 $C_k^{(n)}$ 有正有负，此时 $\sum _{k=0}^n\left|C_k^{(n)}\right|$ 可能很大，故计算 $f(x_k)$ 时产生的微小扰动可能会被成倍放大，导致结果不精确。

QUOTE

根据柯特斯系数表，$n<8$ 时公式都是稳定的；

收敛阶

收敛阶 $O(h^p)$

表示误差随「步长 $h$ 的减小」而减小的速度。

若求积公式 $F$ 的余项 $R(F)$ 满足

$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{|R(F)|}{h^p}=C\ne 0$$

其中 $h$ 是子区间长度，则称公式 $F$ 是「$p$ 阶收敛」的，其收敛阶记作 $O(h^p)$。

QUOTE

收敛阶越高，误差下降越快，精度提升越快。

典型复合求积公式的收敛阶：

公式	收敛阶
梯形公式	$O(h^2)$
辛普森公式	$O(h^4)$
柯特斯公式[2]	$O(h^6)$

推论

若插值型积分公式 $F$ 的收敛阶为 $O(h^m)$，则 $F$ 的代数精度至少为 $m-\phantom{0}$$\phantom{0}1$。

这是因为 $F$ 的余项 $R(F)=\phantom{0}$$\phantom{0}I-\phantom{0}$$\phantom{0}F$ 是至少 $m$ 次的多项式。当 $I$ 是 $m-\phantom{0}$$\phantom{0}1$ 次内多项式的积分时，余项 $R(F)$ 必为 $0$，也就是 $F$ 能实现对 $m-\phantom{0}$$\phantom{0}1$ 次内多项式的精准积分。

---

1. 带权积分中值定理：设 $f(x),\phantom{0}$$\phantom{0}g(x)$ 在 $[a,\phantom{0}$$\phantom{0}b]$ 上连续，且 $g(x)\ge 0$，不恒为零，则存在 $\eta \in (a,\phantom{0}$$\phantom{0}b)$，使得 ${\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x=\phantom{0}$$\phantom{0}f(\eta ){\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$。 ↩︎

2. 柯特斯公式：$n=\phantom{0}$$\phantom{0}4$ 的牛顿-柯特斯公式。 ↩︎