两两独立

$A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 两两独立，当且仅当：对于任意 $i\ne j$ 都有

$$P(A_i{A}_j)=P(A_i)P(A_j)$$

推论 1

若 $A,B$ 两两独立，且 $P(A)>0,P(B)>0$，则有

$$P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{P(A)P(B)}{P(A)}=P(B)$$

同理有 $P(A\mid B)=P(A)$。

推论 2

若 $A,B$ 两两独立，则 $A,\bar{B}$ 两两独立。

证

由 $P(AB)=P(A)P(B)$ 得

$$\begin{array}{rl}P(A\bar{B})& =P(A-AB)=P(A)-P(AB)\\ & =P(A)-P(A)P(B)\\ & =P(A)(1-P(B))\\ & =P(A)P(\bar{B})\end{array}$$

$\therefore A,\bar{B}$ 两两独立。

相互独立

$A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 相互独立，当且仅当：对于任意子集 $\{i_1,i_2,\cdots ,i_k\}\subset \{1,2,\cdots ,n\}$ 都有

$$P(A_{i_1}{A}_{i_2}\cdots A_{i_k})=P(A_{i_1})P(A_{i_2})\cdots P(A_{i_k})$$

试验的独立性

随机试验 $E_1,E_2,\cdots ,E_n$ 相互独立，当且仅当：任取随机事件 $A_1\in {\mathcal{F}}_{E_1}$，$A_2\in {\mathcal{F}}_{E_2}$，$\cdots$，$A_n\in {\mathcal{F}}_{E_n}$，都有 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 相互独立。其中 ${\mathcal{F}}_{E_i}$ 是随机试验 $E_i$ 的事件集。

独立重复试验

进行多次相同且相互独立的随机试验。

伯努利概型试验

只涉及一个事件的独立重复试验。

N 重伯努利概型试验

进行 N 次试验的伯努利概型试验。

定理 1

在 N 重伯努利概型试验中，设事件 $A$ 发生 $k$ 次的概率为 $p_n(k)$，则$$p_n(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})P(A{)}^k(1-P(A){)}^{n-k}$$

无穷多重伯努利概型试验

进行无穷次试验的伯努利概型试验。

定理 2

在 无穷多重伯努利概型试验中，设事件 $A$ 在第 $k$ 次试验首次发生的概率为 $g(k)$，则$$g(k)=(1-P(A){)}^{k-1}P(A)$$