给出 $n$ 个点 $(x_1,$$y_1),$$(x_2,$$y_2),$$\cdots ,$$(x_n,$$y_n)$，怎么找到一个函数 $f(x)$ 同时过这 $n$ 个点？

拉格朗日的想法是这样的：构造一个开关函数

$$L_k(t)=\{\begin{array}{ll}1,& t=x_k\\ 0,& t=\mathrm{other}x\end{array}$$

这个开关函数在学术上称为「插值基函数」。只有代入 $x_k$ 时开关才打开，代入其它 $x$ 时开关关闭。

进而构造

$$f(x)=y_1{L}_1(x)+y_2{L}_2(x)+\cdots +y_n{L}_n(x)$$

代入 $x_k$ 时，仅 $y_k$ 后面的开关是开着的，其余皆关闭，所以函数值为 $y_k$，即 $\mathrm{\forall }k,$$f(x_k)=$$y_k$。这就是我们想要的函数。

问题就变成了如何构造开关函数。

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容易发现 $\mathrm{\forall }k,$$t=$$x_k,$$$

$$\prod (t-x_i)=(t-x_1)(t-x_2)\cdots (t-x_n)=0$$

把 $(t-$$x_k)$ 这一项拿走，得到

$$\prod _{i\ne k}(t-x_i)=\{\begin{array}{ll}\ne 0,& t=x_k\\ 0,& t=\mathrm{other}x\end{array}$$

为使 $t=$$x_k$ 时得到 $1$，再作以下改变

$$\prod _{i\ne k}\frac{t-x_i}{x_k-x_i}=\{\begin{array}{ll}1,& t=x_k\\ 0,& t=\mathrm{other}x\end{array}$$

于是我们成功地构造出了开关函数

$$L_k(t)=\prod _{i\ne k}\frac{t-x_i}{x_k-x_i}$$

模板

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

double f(vector<double>& x, vector<double>& y, double t) {
    double result = 0.0;
    int n = x.size();
    
    for (int i = 0; i < n; i ++) {
        double term = y[i];
        for (int j = 0; j < n; j ++) {
            if (j != i) {
                term *= (t - x[j]) / (x[i] - x[j]);
            }
        }
        result += term;
    }
    
    return result;
}

int main() {
    vector<double> x = {1, 2, 3, 4, 5};
    vector<double> y = {1, 4, 9, 16, 25};

    double t;
    while (cin >> t) {
        cout << f(x, y, t) << endl;
    }

    return 0;
}