连续型随机变量

连续型随机变量 $X$

存在函数 $f_X(x)$ 使满足以下条件的随机变量。

1. $f_X(x)\ge 0$；
2. $X$ 的分布函数 $F_X(x)=P(X\le x)={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{f}_X(t)\mathrm{d}t}$。

概率密度函数 $f_X$

连续型随机变量 $X$ 的分布函数 $F_X$ 的广义导数^[1]。

$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}{F}_X(x)}{\mathrm{d}x}}& \text{if exists}\\ \text{0 usually}& \text{else}\end{array}$$

性质 1

$f_X(x)\ge 0$。

性质 2

${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{f}_X(x)\mathrm{d}x=1}$。

性质 3

$P(a<X\le b)=F_X(b)-F_X(a)={\displaystyle {\int }_a^b{f}_X(x)\mathrm{d}x}$。

性质 4

$F_X$ 是连续函数，且 $P(X=x)=F_X(x)-F_X(x^{-})=0$。

性质 5

在 $f_X$ 的连续点 $x$ 处有 $F_X^{\prime }(x)=f_X(x)$，且 $F_X$ 最多只能在有限个点处不可导。

性质 6

改变 $f_X$ 的有限个函数值，$F_X$ 不变。

INFO

当 $\mathrm{\Delta }x$ 很小时，$P(x<X\le x+\mathrm{\Delta }x)\approx f_X(x)\mathrm{\Delta }x$。

均匀分布

均匀分布 $X\sim U(a,b)$

在区间 $(a,b)$ 内，概率密度处处相等。

$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{b-a}}& a<x<b\\ 0& \text{other}\end{array}$$$$F_X(x)=\{\begin{array}{ll}0& x<a\\ {\displaystyle \frac{x-a}{b-a}}& a\le x<b\\ 1& x\ge b\end{array}$$

指数分布

指数分数 $X\sim E(\lambda )$

通常是某些产品或系统寿命的分布。

$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x}& x>0\\ 0& x\le 0\end{array}$$$$F_X(x)=\{\begin{array}{ll}1-{\mathrm{e}}^{-\lambda x}& x>0\\ 0& x\le 0\end{array}$$

正态分布

正态分布（高斯分布） $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$

设 $\mu$ 和 $\sigma >0$ 为常数：

$$f_X(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$$

高斯积分

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}{x}^2}\mathrm{d}x=\sqrt{2\pi }$$

性质 1

$f_X(x)$ 关于 $x=\mu$ 对称。

性质 2

$f_X(x)$ 的最大值为 $f_X(\mu )={\displaystyle \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}}$。

性质 3

$f_X(x)$ 在 $x=\pm \sigma$ 处有拐点。

性质 4

$f_X(x)$ 在 $(\mu ,+\mathrm{\infty })$ 上 $\uparrow$，在 $(-\mathrm{\infty },\mu )$ 上 $\downarrow$，$f_X(+\mathrm{\infty })=f_X(-\mathrm{\infty })=0$。

性质 5

当 $\mu$ 不变时，$\sigma$ 越大，$f_X$ 的曲线越平坦；$\sigma$ 越小，$f_X$ 的曲线越尖。

性质 6

当 $\sigma$ 不变时，改变 $\mu$，就是将 $f_X$ 的曲线沿 $x$ 轴平移。

INFO

• $P(|X-\mu |<\sigma )\approx 0.6826$；
• $P(|X-\mu |<2\sigma )\approx 0.9544$；
• $P(|X-\mu |<3\sigma )\approx 0.9973$。

标准正态分布

标准正态分布 $X\sim N(0,1^2)$

$\mu =0$，$\sigma =1$ 的正态分布。

$$\phi (x)=f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$$$$\mathrm{\Phi }(x)=F_X(x)$$

推论

若 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ 则 $\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1^2)$，$f_X(x)=\phi \left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)$，$F_X(x)=\mathrm{\Phi }\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)$。

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1. 广义导数：不可导处取任意值的导数函数。 ↩︎