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区间估计的评价标准

置信度（可信度）$1-\alpha$

区间估计 $(T_1,T_2)$ 覆盖未知参数 $\theta$ 的概率 $1-\alpha =P(T_1<\theta <T_2)$。

精确度 $\beta$

区间估计 $(T_1,T_2)$ 的平均长度 $\beta =\mathbb{E}(T_2-T_1)$。

置信区间

双侧置信区间（置信区间）$(T_1,T_2)$

对未知参数 $\theta$ 满足 $P(T_1<\theta <T_2)=1-\alpha$ 的区间，即置信度为 $1-\alpha$ 的区间。

置信下限 $T_1$

置信上限 $T_2$

最优双侧置信区间（最优置信区间，置信区间） $(T_1,T_2)$

满足 $\mathbb{E}(T_2-T_1)$ 尽量小的双侧置信区间。

单侧置信区间 $(T_1,+\mathrm{\infty }),(-\mathrm{\infty },T_2)$

对未知参数 $\theta$ 满足 $P(T_1<\theta )=1-\alpha$ 或 $P(T_2>\theta )=1-\alpha$ 的区间。

单侧置信下限 $T_1$

单侧置信上限 $T_2$

单侧下限置信区间 $(T_1,+\mathrm{\infty })$

单侧上限置信区间 $(-\mathrm{\infty },T_2)$

枢轴量法

枢轴量

含未知参数但分布与其无关的统计量。

枢轴量法构造置信度为 $1-\alpha$ 的置信区间 $(T_1,T_2)$ 的一般步骤如下：

1. 构造枢轴量 $T(X_1,X_2,\cdots ,X_n;\theta )$ 满足
   • $T$ 的概率分布已知，且与未知参数 $\theta$ 无关；
   • $T$ 的表达式依赖于未知参数 $\theta$，便于反解出置信区间。
2. 根据 $T$ 的已知分布，写出其高概率区间$$P(a\le T(X;\theta )\le b)=1-\alpha$$
3. 将不等式 $a\le T(X;\theta )\le b$ 变形为 $T_1<\theta <T_2$，得到置信区间 $(T_1,T_2)$。

正态总体参数的置信区间

设总体 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ 有样本 $\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}$，存在样本均值 $\overline{X}$ 和样本方差 $S^2$。此处假设 ${\sigma }^2$ 已知，需要进行估计的未知参数为 $\theta =(\mu )$。

1. 从样本均值 $\overline{X}$ 出发，构造枢轴量 $T$。

   根据正态总体的抽样分布：单总体情形有

   $$\overline{X}\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$$$$T=\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$$

2. 对给定的置信度 $1-\alpha$，其高概率区间为

   $$P(-u_{\alpha /2}\le T\le u_{\alpha /2})=1-\alpha$$

   其中 $u_x=P(T\le x)=\mathrm{\Phi }(x)$。

3. 对不等式 $-u_{\alpha /2}\le T\le u_{\alpha /2}$ 进行变形：

   $$-u_{\alpha /2}\le \frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\le u_{\alpha /2}$$$$\iff -u_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\le \overline{X}-\mu \le u_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$$$\iff -\overline{X}-u_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\le -\mu \le -\overline{X}+u_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$$$\iff \overline{X}-u_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\le \mu \le \overline{X}+u_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$

   得到 $\mu$ 的双侧置信区间为

   $$(\overline{X}-u_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\overline{X}+u_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}})$$

未知参数	总体条件	枢轴量	置信下限	置信上限
$\mu$	${\sigma }^2$ 已知	${\displaystyle \frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}}\sim N(0,1)$	$\overline{X}-u_{\alpha /2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$	$\overline{X}+u_{\alpha /2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$
$\mu$	${\sigma }^2$ 未知	${\displaystyle \frac{\overline{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}}\sim t(n-1)$	$\overline{X}-t_{\alpha /2}(n-1){\displaystyle \frac{S}{\sqrt{n}}}$	$\overline{X}+t_{\alpha /2}(n-1){\displaystyle \frac{S}{\sqrt{n}}}$
${\sigma }^2$	$\mu$ 已知	$\sum _{i=1}^n{\left(\frac{X_i-\mu }{\sigma }\right)}^2\sim {\chi }^2(n)$	${\displaystyle \frac{\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2}{{\chi }_{\alpha /2}^2(n)}}$	${\displaystyle \frac{\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2}{{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n)}}$
${\sigma }^2$	$\mu$ 未知	${\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}}\sim {\chi }^2(n-1)$	${\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)}}$	${\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n-1)}}$