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区间估计

2025-06-06

区间估计的评价标准

置信度(可信度)1α
区间估计 (T1,T2) 覆盖未知参数 θ 的概率 1α=P(T1<θ<T2)
精确度 β
区间估计 (T1,T2) 的平均长度 β=E(T2T1)

置信区间

双侧置信区间(置信区间)(T1,T2)

未知参数 θ 满足 P(T1<θ<T2)=1α 的区间,即置信度1α 的区间。

置信下限 T1

置信上限 T2

最优双侧置信区间(最优置信区间,置信区间) (T1,T2)
满足 E(T2T1) 尽量小的双侧置信区间
单侧置信区间 (T1,+),(,T2)

未知参数 θ 满足 P(T1<θ)=1αP(T2>θ)=1α 的区间。

单侧置信下限 T1

单侧置信上限 T2

单侧下限置信区间 (T1,+)

单侧上限置信区间 (,T2)

枢轴量法

枢轴量
未知参数但分布与其无关的统计量

枢轴量法构造置信度1α置信区间 (T1,T2) 的一般步骤如下:

  1. 构造枢轴量 T(X1,X2,,Xn;θ) 满足
  2. 根据 T 的已知分布,写出其高概率区间P(aT(X;θ)b)=1α
  3. 将不等式 aT(X;θ)b 变形为 T1<θ<T2,得到置信区间 (T1,T2)

正态总体参数的置信区间

总体 XN(μ,σ2)样本 {X1,X2,,Xn},存在样本均值 X¯样本方差 S2。此处假设 σ2 已知,需要进行估计的未知参数θ=(μ)

  1. 从样本均值 X¯ 出发,构造枢轴量 T

    根据正态总体的抽样分布:单总体情形

    X¯N(μ,σ2n)T=X¯μσ/nN(0,1)
  2. 对给定的置信度 1α,其高概率区间为

    P(uα/2Tuα/2)=1α

    其中 ux=P(Tx)=Φ(x)

  3. 对不等式 uα/2Tuα/2 进行变形:

    uα/2X¯μσ/nuα/2uα/2σnX¯μuα/2σnX¯uα/2σnμX¯+uα/2σnX¯uα/2σnμX¯+uα/2σn

    得到 μ双侧置信区间

    (X¯uα/2σn,X¯+uα/2σn)
未知参数总体条件枢轴量置信下限置信上限
μσ2 已知X¯μσ/nN(0,1)X¯uα/2σnX¯+uα/2σn
μσ2 未知X¯μS/nt(n1)X¯tα/2(n1)SnX¯+tα/2(n1)Sn
σ2μ 已知i=1n(Xiμσ)2χ2(n)i=1n(Xiμ)2χα/22(n)i=1n(Xiμ)2χ1α/22(n)
σ2μ 未知(n1)S2σ2χ2(n1)(n1)S2χα/22(n1)(n1)S2χ1α/22(n1)