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泰勒展开

2022-06-11

简介

泰勒展开是用形如 a0+a1x+a2x2++anxn 的函数逼近 ex,lnx 等超越函数的技巧。

推导

x=0 处展开

f(x)n 阶导,g(x)=a0+a1x+a2x2++anxn

f(x)g(x)x=0 处的函数值和各阶导相等,这样 f(x)x=0 附近的图像才能逼近 g(x)。因此

f(0)=g(0)=a0f(0)=g(0)=a1f(0)=g(0)=2a2f(0)=g(0)=3×2a3f(n)(0)=g(n)(0)=n!×an

an 的通项为 ai=f(i)(0)i!。即

f(x)f(0)+f(0)1!x+f(0)2!x2+f(0)3!x3++f(n)(0)n!xn

此式称为 f(x)x=0 处的 n 阶泰勒展开式。

x=m 处展开

只需设 g(x)=a0+a1(xm)+a2(xm)2++an(xm)n。推导过程与 x=0 处展开 并无二致。

f(x)f(0)+f(0)1!(xm)+f(0)2!(xm)2++f(n)(0)n!(xm)n

应用

近似

以下皆为在 x=0 处的展开。

  • ex1+x
  • ex1+x+12x2
  • ln(1+x)x
  • ln(1+x)x12x2
  • sinxxx33!+x55!x77!+
  • cosx1x22!+x44!x66!+
  • tanxx+x33+2x515+17x7315+62x92835+

放缩

低阶泰勒展开具有天然的单调性,因此高考出题人常用泰勒构造不等式。

  • ex1+x(xR)
  • ex1+x+12x2(x0)
  • ln(1+x)x(xR)
  • ln(1+x)x12x2(x0)

凡是 n 阶泰勒展开构造的不等式,都可以 n 次求导证明。因为以此法构造的式子,导得越多,导函数结构必然越简单。因此泰勒展开可作为解题的探路器。

例 1

求证 x0ex1+x+12x2

观察得 ex2 阶泰勒展开为 1+x+12x2


f(x)=ex(1+x+12x2)

f(x)=ex(1+x)

f(x)=ex1

x0,f(x)0,f(x),f(x)>f(0)=0

f(x)0,f(x),f(x)>f(0)=0

ex(1+x+12x2)0

例 2

f(x)=ex1xax2,当 x0f(x)0 恒成立,求 a 的范围。

由泰勒展开可知 ex1+x+12x2(x0),因此 a(,12]。大题对 a 进行分类讨论即可。


f(x)=ex1xax2

f(x)=ex12ax

f(x)=ex2a

1)a12

f(x)0,f(x),f(x)>f(0)=0

f(x)0,f(x),f(x)f(0)=0

符合题意。

2)a>12

f(x)<0x(0,ln2a)。此时

f(x)<0,f(x),f(x)<f(0)=0

f(x)0,f(x),f(x)<f(0)=0

即存在 x(0,ln2a),f(x)<0。不合题意,舍去。

综上 a(,12]