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正态总体参数的假设检验

2025-06-06

假设内容

总体 XN(μ,σ2),从总体 X 中抽取一个容量为 n样本 {X1,X2,,Xn}

此处假设 σ 已知,并对未知参数 μ 作出假设

H0:μ=μ0,H1:μμ0

现对原假设 H0 进行假设检验

构造检验统计量

从样本均值 X¯ 出发,构造检验统计量 T

根据正态总体的抽样分布:单总体情形

X¯N(μ,σ2n)

故构造

T=X¯μ0σ/nN(0,1)

根据显著性水平确定拒绝域

对于给定的显著性水平 α,确定拒绝域 Wα 的形式和临界值

  1. 确定形式:在原假设 H0 成立条件下,统计量 T 偏离中心较远的可能性很小,故 Wα 的形式为双边拒绝域 (,a)(b,+)
  2. 确定临界值:要使 β1=P(TWαH0)=α,则取 a=uα/2,b=uα/2。其中 ux=P(Tx)=Φ(x)

故拒绝域为 Wα=(,uα/2)(uα/2,+)

结论

检验统计量 T观测值 T0Wα 时拒绝原假设 H0,否则接受原假设 H0