简介

若 $f(x)$ 满足

• $f(x_0)=0$；
• $f(x)\ge 0$ 在 $[x_0,+\mathrm{\infty })$ 恒成立。

则 $f^{\prime }(x_0)\ge 0$. 需要检验充分性。

例 1

$f(x)=kx-\sin x,\mathrm{\forall }x\in [0,+\mathrm{\infty }),f(x)\ge 0$，求 $k$ 的范围。

证

$f^{\prime }(x)=k-\cos x$。

$\because f(0)=0,f(x)\ge 0$ 在 $[0,+\mathrm{\infty })$ 恒成立，

$\therefore f^{\prime }(0)=k-1\ge 0\Rightarrow k\ge 1$。

充分性检验：

$k\ge 1$ 时，$f^{\prime }(x)=k-\cos x\ge 0,f(x)\uparrow ,f(x)\ge f(0)=0$。符合题意。

综上 $k\in [1,+\mathrm{\infty })$。

例 2

$f(x)=\ln {\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}-k(x+{\displaystyle \frac{x^3}{3}}),\mathrm{\forall }x\in (0,1),f(x)>0$，求 $k$ 的范围。

证

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{2}{1-x^2}}-k(1+x^2)={\displaystyle \frac{k{x}^4-k+2}{1-x^2}}$。

$\because f(0)=\ln {\displaystyle \frac{1+0}{1-0}}-0=0,f(x)>0$ 在 $(0,1)$ 上恒成立，

$\therefore f^{\prime }(0)=2-k\ge 0\Rightarrow k\le 2$。

充分性检验：

$k\le 2$ 时，$x\in (0,1),f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{k(x^4-1)+2}{1-x^2}}\ge 0,f(x)\uparrow ,f(x)>f(0)=0$。符合题意。

综上 $k\in (-\mathrm{\infty },2]$。