简介

若 $f(x)$ 满足

• $f(x_0)=$$0$；
• $f(x)\ge 0$ 在 $[x_0,$$+$$\mathrm{\infty })$ 恒成立。

则 $f^{\prime }(x_0)\ge 0$. 需要检验充分性。

例 1

$f(x)=$$kx-$$\sin x,$$\mathrm{\forall }x\in [0,$$+$$\mathrm{\infty }),$$f(x)\ge 0$，求 $k$ 的范围。

证

$f^{\prime }(x)=$$k-$$\cos x$。

$\because f(0)=$$0,$$f(x)\ge 0$ 在 $[0,$$+$$\mathrm{\infty })$ 恒成立，

$\therefore f^{\prime }(0)=$$k-$$1\ge 0\Rightarrow k\ge 1$。

充分性检验：

$k\ge 1$ 时，$f^{\prime }(x)=$$k-$$\cos x\ge 0,$$f(x)\uparrow ,$$f(x)\ge f(0)=$$0$。符合题意。

综上 $k\in [1,$$+$$\mathrm{\infty })$。

例 2

$f(x)=$$\ln {\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}-$$k(x+{\displaystyle \frac{x^3}{3}}),$$\mathrm{\forall }x\in (0,$$1),$$f(x)>0$，求 $k$ 的范围。

证

$f^{\prime }(x)=$${\displaystyle \frac{2}{1-x^2}}-$$k(1+$$x^2)=$${\displaystyle \frac{k{x}^4-k+2}{1-x^2}}$。

$\because f(0)=$$\ln {\displaystyle \frac{1+0}{1-0}}-$$0=$$0,$$f(x)>0$ 在 $(0,$$1)$ 上恒成立，

$\therefore f^{\prime }(0)=$$2-$$k\ge 0\Rightarrow k\le 2$。

充分性检验：

$k\le 2$ 时，$x\in (0,$$1),$$f^{\prime }(x)=$${\displaystyle \frac{k(x^4-1)+2}{1-x^2}}\ge 0,$$f(x)\uparrow ,$$f(x)>f(0)=$$0$。符合题意。

综上 $k\in (-$$\mathrm{\infty },$$2]$。