简介

已知 $f(x_1)=f(x_2)$，$x_0$ 是极值点，求证 $x_1+x_2>2x_0$ 或 $x_1{x}_2>x_0^2$。这就是极值点偏移问题。

极值点左偏	极值点不偏移	极值点右偏
${\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}}>x_0$	${\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}}=x_0$	${\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}}<x_0$

原理

以极值点左偏为例，求证 $x_1+x_2>2x_0$，即 $x_1>2x_0-x_2$。

若 $x_1$ 和 $2x_0-x_2$ 都在函数的 $\uparrow$ 区间，则有 $f(x_2)=f(x_1)>f(2x_0-x_2)$ 即 $f(x_2)>f(2x_0-x_2)$。

原命题转化为关于 $x_2$ 的单变量问题。

$x_1{x}_2>x_0^2$ 同理。

例题

$f(x)={\displaystyle \frac{x}{e^x}}$，若 $f(x_1)=f(x_2)$ 且 $x_1\ne x_2$，求证 $x_1+x_2>2$。

证

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1-x}{e^x}}$。

• $x\in (-\mathrm{\infty },1),f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$；
• $x\in (1,+\mathrm{\infty }),f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$。

不妨设 $x_1<1<x_2$。

$$x_1+x_2>2\Rightarrow x_1>2-x_2\Rightarrow f(x_1)>f(2-x_2)\Rightarrow f(x_2)>f(2-x_2)$$

于是转而证明 $f(x_2)-f(2-x_2)>0$，其中 $x_2>1$。

设 $g(x)=f(x)-f(2-x)={\displaystyle \frac{x}{e^x}}-{\displaystyle \frac{2-x}{e^{2-x}}}$，即证 $g(x)$ 在 $(1,+\mathrm{\infty })$ 上恒 $>0$。

$g^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1-x}{e^x}}-{\displaystyle \frac{1-x}{e^{2-x}}}=(x-1)(e^{x-2}-e^{-x})$。

$\therefore x\in (1,+\mathrm{\infty }),g^{\prime }(x)>0,g(x)\uparrow$。

$\therefore g(x)>g(1)=f(1)-f(1)=0$。命题得证。