统计概率

若在 $n$ 次随机试验中，事件 $A$ 出现了 $m$ 次，则

$$P(A)=f_n(A)=\frac{m}{n}$$

古典概率

用样本点总占比^[1]估计概率。

若样本空间 $\mathrm{\Omega }$ 包含 $n$ 个样本点，事件 $A$ 包含 $m$ 个样本点，则

$$P(A)=\frac{m}{n}$$

古典概型

观测结果符合古典概率的随机试验。

• 有限性：样本空间是有限集；
• 等可能性：基本事件概率相同。

几何概率

用几何度量总占比估计概率。

若采用测度^[2] $\mu$，则

$$P(A)=\frac{\mu (A)}{\mu (\mathrm{\Omega })}$$

几何概型

观测结果符合几何概率的随机试验。

• 有限区域、无限样本点：测度空间是有限几何区域，样本空间是无限集；
• 等可能性：度量相同的事件概率相同。

贝特朗悖论

选取不同的测度，可能会导致不同的几何概率。

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统计概率、古典概率、几何概率 具有以下相同性质：

1. 非负有界性：$0\le P(A)\le 1$；
2. 规范性：$P(\mathrm{\Omega })=1$；
3. 有限可加性：对于一组互不相容的事件 $\{A_1,A_2,\cdots ,A_n\}$ 有$$P\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)$$

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1. 总占比：某一部分相对于整体的比例。 ↩︎

2. 测度：度量集合大小的函数，能推广出长度、面积、体积等概念。 ↩︎