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数值积分

2025-07-02

数值积分的基本思想

对于积分

abf(x)dx

如果知道 f(x) 的原函数 F(x),则由牛顿-莱布尼茨公式有

abf(x)dx=F(b)F(a)

但是在工程领域和科研领域中,经常会发生:

  1. f(x) 没有解析式,只知道部分函数值;
  2. f(x) 的原函数不是初等函数;
  3. f(x) 解析式形式复杂,原函数求解困难。

于是诞生了一些积分的近似计算方法。

梯形公式
abf(x)dxba2[f(a)+f(b)]
中矩形公式(矩形公式)
abf(x)dx(ba)f(a+b2)
机械求积公式
abf(x)dxk=0nAkf(xk)
求积节点 xk
有限个离散点。
求积系数(权)Ak
其值仅与积分区间和求积节点的选取有关,而与 f(x) 的具体形式无关。
插值型积分公式

插值多项式代替被积函数 f(x) 进行积分。

根据多项式插值定理,同等次数的插值法是等效的。这里选取拉格朗日插值

abf(x)dxabLn(x)dx=abk=0nf(xk)k(x)dx=k=0nf(xk)abk(x)dx

可见插值型积分公式是机械求积公式的一个实例,其求积系数定义为

Ak=abk(x)dx

代数精度

代数精度(代数精确度)
若一个机械求积公式能够「精确地积分[1]」任意 m 次以内的多项式,而只能「近似地积分」m+001 次的多项式,则称其具有 m 次的代数精度

容易证明,一个机械求积公式具有 m代数精度,当且仅当其对于 f(x)=001,00x,00,00xm 都能准确成立,且对于 f(x)=00xm+1 不能准确成立,即

{k=0nAk=bak=0nAkx=12(b2a2)k=0nAkxm=1m+1(bm+1am+1)k=0nAkxm+11m+2(bm+2am+2)

推论

形如 k=0nAkf(xk)机械求积公式至少具有 n 次代数精度 该公式为插值型积分公式

INFO

  1. 精确地积分:将约等号「」替换为等号「=」后,求积公式仍成立。 ↩︎