Skip to content

常见分布的数学期望和方差

2025-06-04

0-1 分布

XB(1,p)

P(X=1)=p,P(X=0)=1pE(X)=pV(X)=p(1p)
E(X)=0P(X=0)+1P(X=1)=pE(X2)=02P(X=0)+12P(X=1)=pV(X)=E(X2)[E(X)]2=p2p=p(1p)

二项分布

XB(n,p)

P(X=k)=(nk)pk(1p)nk(k=0,1,2,,n)E(X)=npV(X)=np(1p)

根据二项分布的可加性,设 {Xi}i=1n 相互独立,均服从 0-1 分布,且 X=i=1nXi,则

E(X)=k=0nE(Xk)=npV(X)=k=0nV(Xk)=np(1p)

泊松分布

XP(λ)

P(X=k)=eλλkk!(k=0,1,2,)E(X)=λV(X)=λ
E(X)=k=0kP(X=k)=k=0keλλkk!=λeλk=1λk1(k1)!=λeλeλ=λE(X2)=k=0k2P(X=k)=k=0k2eλλkk!=k=0k(k1)eλλkk!+k=0keλλkk!=λ2eλk=2λk2(k2)!+E(X)=λ2eλeλ+λ=λ2+λV(X)=E(X2)[E(X)]2=λ2+λλ=λ

几何分布

XG(p)

P(X=k)=(1p)k1p(k=1,2,)E(X)=1pV(X)=1pp2
E(X)=k=1k(1p)k1p=pk=1k(1p)k1====q=1pp1(1q)2=p1p2=1pE(X2)=k=1k2(1p)k1p=pk=1k2qk1====q=1pp1+q(1q)3=p2pp3=2pp2V(X)=E(X2)[E(X)]2=2pp2(1p)2=1pp2

超几何分布

XH(N,M,n)

P(X=k)=(Mk)(NMnk)(Nn)(k=max{0,n(NM)},,min{n,M})E(X)=nMNV(X)=n(Nn)(NM)MN2(N1)

没有必要。

均匀分布

XU(a,b)

fX(x)={1baa<x<b0otherE(X)=a+b2V(X)=112(ba)2
E(X)=+xfX(x)dx=1baabxdx=b2a22(ba)=a+b2E(X2)=+x2fX(x)dx=1baabx2dx=b3a33(ba)=a2+ab+b23V(X)=E(X2)[E(X)]2=a2+ab+b23(a+b2)2=(ba)212

指数分布

XE(λ)

fX(x)={λeλxx>00x0E(X)=1λV(X)=1λ2
E(X)=+xfX(x)dx=0+xλeλxdx=0+xd(eλx)=[xeλx]0+0+eλxdx=[1λeλx]0+=1λE(X2)=0x2λeλxdx=[x2eλx]0+20xeλxdx=0+21λ2=2λ2V(X)=E(X2)[E(X)]2=2λ2(1λ)2=1λ2

正态分布

XN(μ,σ2)

fX(x)=1σ2πe12(xμσ)2E(X)=μV(X)=σ2
E(X)=+x1σ2πe12(xμσ)2dx=====t=xμσ+(σt+μ)1σ2πe12t2σdt=+(σt+μ)12πe12t2dt=μ+12πe12t2dt+σ+t12πe12t2dt=μ1+σ0=μE[(XE(X))2]=+(xμ)21σ2πe12(xμσ)2dx=====t=xμσ+σ2t21σ2πe12t2σdt=σ2+t212πe12t2dt=σ21=σ2V(X)=E[(XE(X))2]=σ2