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简介
博弈论研究在一局博弈中如何最优化玩家的策略。
公平组合游戏(ICG)
- 两名玩家轮流行动,且行动规则相同;
- 最终不能行动的玩家判负。
NIM 游戏
简介
有
NIM 游戏属于 公平组合游戏,且不存在平局,只有「先手必胜」和「后手必胜」两种情况。
策略
当且仅当
证明
引理 1
设
设
由异或的定义得,至少存在一个
于是可以取第
引理 2
设
即任意一步操作都会导致异或和
结合引理 1,引理 2 可得:
- 存在一步操作,使异或和
异或和 ; - 任意一步操作,使异或和
异或和 ; - 石子被取光时失败(对手取走最后一个石子,获胜),此时异或和为
。
当
轮到后手时,异或和必为
当
有向图游戏
简介
在一个有向无环图中,只有一个起点,上面有一枚棋子。两名玩家轮轮流沿有向边推动棋子,无法移动者判负。
任何公平组合游戏都可以转换为有向图游戏:每个节点表示一个状态,并且向后继状态连有向边。
策略
Mex 运算
设
SG 函数
状态
单图游戏
设起点为
证明
组合图游戏
对于