本篇证明可略过。

不动点

函数不动点

$y=f(x)$ 与 $y=x$ 的交点是 $f(x)$ 的不动点，即不动点 $x_0$ 满足

$$f(x_0)=x_0$$

数列不动点

若 $a_n=f(a_{n-1})$，则 $f(x)$ 的不动点也是数列 $\{a_n\}$ 的不动点。

一次不动点

已知 $a_n=A\cdot a_{n-1}+B(A\ne 0)$。

若 $\{a_n\}$ 有不动点 $x_0$，则 $\{a_n-x_0\}$ 是公比为 $A$ 的等比数列。

证

由 不动点 的定义得

$$A{x}_0+B=x_0$$$$\therefore B=x_0-A{x}_0$$$$\therefore a_n-x_0=A\cdot a_{n-1}+B-x_0=A(a_{n-1}-x_0)$$

$\therefore$ 数列 $\{a_n-x_0\}$ 是公比为 $A$ 的等比数列。

齐次不动点

已知 $a_n={\displaystyle \frac{A{a}_{n-1}+B}{C{a}_{n-1}+D}}(C\ne 0,AD-BC\ne 0)$。

单根

若 $\{a_n\}$ 有唯一不动点 $x_0$，则 $\left\{{\displaystyle \frac{1}{a_n-x_0}}\right\}$ 是公差为 ${\displaystyle \frac{2C}{A+D}}$ 的等差数列。

证

由 不动点 的定义得

$$x_0=\frac{A{x}_0+B}{C{x}_0+D}$$$$\begin{array}{}\text{(1)}& B-D{x}_0=C{x}_0^2-A{x}_0\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(2)}& C{x}_0^2+(D-A)x_0-B=0\end{array}$$

$\because$ 方程 $(2)$ 仅有一根，故

$$\begin{array}{}\text{(3)}& x_0={\displaystyle \frac{A-D}{2C}}\end{array}$$$$\begin{array}{rl}\therefore a_n-x_0& =\frac{A{a}_{n-1}+B}{C{a}_{n-1}+D}-\frac{C{a}_{n-1}{x}_0+D{x}_0}{C{a}_{n-1}+D}\\ & =\frac{(A-C{x}_0)a_{n-1}+B-D{x}_0}{C{a}_{n-1}+D}\end{array}$$

代入 $(1)$：

$$\begin{array}{rl}{a}_n-x_0& =\frac{(A-C{x}_0)a_{n-1}+C{x}_0^2-A{x}_0}{C{a}_{n-1}+D}\\ & =\frac{(a_{n-1}-x_0)(A-C{x}_0)}{C{a}_{n-1}+D}\\ & =\frac{(a_{n-1}-x_0)(A-C{x}_0)}{C(a_{n-1}-x_0)+C{x}_0+D}\\ \\ \therefore \frac{1}{a_n-x_0}& =\frac{C(a_{n-1}-x_0)+C{x}_0+D}{(a_{n-1}-x_0)(A-C{x}_0)}\\ & =\frac{C}{(A-C{x}_0)}+\frac{C{x}_0+D}{(a_{n-1}-x_0)(A-C{x}_0)}\end{array}$$

代入 $(2)$：

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{a_n-x_0}& =\frac{C}{\left({\displaystyle \frac{A+D}{2}}\right)}+\frac{{\displaystyle \frac{A-D}{2}}+D}{(a_{n-1}-x_0)\left({\displaystyle \frac{A+D}{2}}\right)}\\ & =\frac{2C}{A+D}+\frac{1}{a_{n-1}-x_0}\end{array}$$

$\therefore$ 数列 $\left\{{\displaystyle \frac{1}{a_n-x_0}}\right\}$ 是公差为 ${\displaystyle \frac{2C}{A+D}}$ 的等差数列。

例

已知 $a_1=2,a_{n+1}={\displaystyle \frac{2a_n-1}{a_n}}$，求 $a_n$ 与 $a_1$ 的关系。

解： 解 $x={\displaystyle \frac{2x-1}{x}}$ 得唯一不动点 $x_0=1$。

$$\therefore \frac{1}{a_n-1}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{2a_{n-1}-1}{a_{n-1}}}-1}=\frac{1}{a_{n-1}-1}+1$$

$\therefore$ $\left\{{\displaystyle \frac{1}{a_n-1}}\right\}$ 是首项为 $1$，公差为 $1$ 的等差数列。

$$\therefore \frac{1}{a_n-1}=n$$$$\therefore a_n=1+\frac{1}{n}$$

双根

若 $\{a_n\}$ 有不动点 $x_1,x_2$，则 $\left\{{\displaystyle \frac{a_n-x_1}{a_n-x_2}}\right\}$ 是公比为 ${\displaystyle \frac{A-C{x}_1}{A-C{x}_2}}$ 的等比数列。

证

由 不动点 的定义得

$$\{\begin{array}{l}{x}_1={\displaystyle \frac{A{x}_1+B}{C{x}_1+D}}\\ x_2={\displaystyle \frac{A{x}_2+B}{C{x}_2+D}}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_1(C{x}_1-A)=B-D{x}_1\\ x_2(C{x}_2-A)=B-D{x}_2\end{array}$$$$\begin{array}{rl}\therefore a_n-x_1& =\frac{A{a}_{n-1}+B}{C{a}_{n-1}+D}-x_1\\ \therefore (a_n-x_1)(C{a}_{n-1}+D)& =A{a}_{n-1}+B-x_1(C{a}_{n-1}+D)\\ & =(A-C{x}_1)a_{n-1}+B-D{x}_1\\ & =(A-C{x}_1)a_{n-1}-x_1(A-C{x}_1)\\ & =(A-C{x}_1)(a_{n-1}-x_1)\end{array}$$

即

$$(a_n-x_1)(C{a}_{n-1}+D)=(A-C{x}_1)(a_{n-1}-x_1)$$

同理可得

$$(a_n-x_2)(C{a}_{n-1}+D)=(A-C{x}_2)(a_{n-1}-x_2)$$$$\begin{array}{r}\therefore \frac{a_n-x_1}{a_n-x_2}=\frac{A-C{x}_1}{A-C{x}_2}\cdot \frac{a_{n-1}-x_1}{a_{n-2}-x_2}\end{array}$$

$\therefore$ 数列 $\left\{{\displaystyle \frac{a_n-x_1}{a_n-x_2}}\right\}$ 是公比为 ${\displaystyle \frac{A-C{x}_1}{A-C{x}_2}}$ 的等比数列。

例

已知 $a_{n+1}={\displaystyle \frac{2a_n}{a_n+1}}$，求 $a_n$ 与 $a_1$ 的关系。

解： 解 $x={\displaystyle \frac{2x}{x+1}}$ 得两个相异的不动点 $x_1=0,x_2=1$。

$$\therefore \frac{a_n-0}{a_n-1}=\frac{\frac{2a_{n-1}}{a_{n-1}+1}-0}{\frac{2a_{n-1}}{a_{n-1}+1}-1}=2\frac{a_{n-1}-0}{a_{n-1}-1}$$

$\therefore$ $\left\{{\displaystyle \frac{a_n}{a_n-1}}\right\}$ 是首项为 ${\displaystyle \frac{a_1}{a_1-1}}$，公比为 $2$ 的等比数列。

$$\therefore \frac{a_n}{a_n-1}=\frac{a_1}{a_1-1}\cdot 2^{n-1}$$$$\therefore a_n=\frac{2^{n-1}{a}_1}{(2^{n-1}-1)a_1+1}$$