Skip to content

数理统计的基本概念

2025-06-05

总体

个体 Xi

随机变量

个体的观测值 xi
个体在一次观测行为 ω 中的观测值 xi=Xi(ω)
总体 X,Y,Z,

个体的集合。

总体分布(总体) X,Y,Z,
概率分布,和总体用相同的符号表示。
总体随机变量(总体)X,Y,Z,
服从总体分布的抽象随机变量,和总体用相同的符号表示。
如何描述一个总体

总体 XN(0,1) 是一个标准正态分布总体,记作 X,其中

INFO

数理统计中的样本空间 Ω 是观测行为的集合,每个样本点 ωΩ 都表示一次观测行为。

对于观测行为 ω个体 Xi 会将其映射成观测值 Xi(ω)

样本

样本(子样)(X1,X2,,Xn)

由多个个体组成的有序向量。

样本容量(样本大小)n
样本的大小。一般要求 n2。理论上可以为无穷大。
样本观测值 (x1,x2,,xn)
样本个体的观测值组成的有序向量 (X1(ω),X2(ω),,Xn(ω))
简单随机样本(样本)(X1,X2,,Xn)

样本中的个体 {X1,X2,,Xn}i.i.dX 独立同分布,即

定理
(X1,X2,,Xn)总体 X 的一个样本

统计量

统计量(样本函数) T=T(X1,X2,,Xn)

样本的函数 T

统计量的观测值 t=T(x1,x2,,xn)
样本观测值应用统计量的同一函数,用统计量的小写形式表示。
样本均值 X¯
X¯=1ni=1nXi
样本方差 S2
S2=1n1i=1n(XiX¯)2=1n1(i=1nXi2nX¯2)
样本均方差(样本标准差)S
S=S2
样本顺序统计量(顺序统计量)X(i)

样本观测值排序后的第 i个体i=1,2,,n)。

最小顺序统计量 X(1)
X(1)=min{X1,X2,,Xn}
最大顺序统计量 X(n)
X(n)=max{X1,X2,,Xn}
样本极差 R
R=X(n)X(1)
样本中位数 Me
Me={X(n+12)n=2k+112(X(n2)+X(n+12))n=2k(kN)
经验分布函数
Fn(x)=1ni=1nI(xix)={0x<x(1)knx(k)x<x(k+1),k=1,2,,n11x(n)x其中 I(A) 为指示函数,即当 A 为真命题时为 1,否则为 0