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方差

2025-06-04

方差

方差 V(X),Var(X)

衡量随机变量 X 偏离其均值程度的指标,定义为

V(X)=E[(XE(X))2]
推论
V(X)=E[(XE(X))2]=E[X22XE(X)+[E(X)]2]=E(X2)E(2XE(X))+[E(X)]2=E(X2)2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)[E(X)]2
标准差(均方差)σ(X)

方差的平方根。σ(X)=V(X)

方差的性质

X,Y 为随机变量,a,b 为常数。

性质 1

V(aX+b)=a2V(X)

性质 2

V(X±Y)=V(X)+V(Y)±2[E(XY)E(X)E(Y)]

推论
X,Y 相互独立V(X±Y)=V(X)+V(Y)

切比雪夫不等式

设随机变量 X 存在数学期望 E(X)=μ方差 V(X)=σ2,则对于任意 ε>0 都有

P(|Xμ|ε)σ2ε2P(|Xμ|<ε)1σ2ε2

连续型随机变量为例。

P(|Xμ|ε)=|xμ|εf(x)dx|xμ|ε(xμε)2fX(x)dx1ε2+(xμ)2fX(x)dx=1ε2E[(Xμ)2]=1ε2V(X)=σ2ε2

推论

V(X)=0 当且仅当 P(X=E(X))=1

()

E(X)=μ,V(X)=σ2=0,根据切比雪夫不等式

ε>0,P(|Xμ|<ε)1σ2ε2=1P(X=μ)=P(ε>0{|Xμ|<ε})=1

()

离散型随机变量为例。

P(X=E(X))=1,得 P(XE(X)=0)=1P[(XE(X))2=0]=1,故

V(X)=E[(XE(X))2]=vvP[(XE(X))2=v]=0