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抽样分布

2025-06-05

常见抽样分布

χ² 分布 Xχ2(n)

{X1,X2,,Xn}i.i.dN(0,1) 独立同分布X=i=1nXi2概率分布

性质 1
Y1χ2(m),Y2χ2(n) 相互独立,则 Y1+Y2χ2(m+n)
性质 2
Xχ2(n)E(X)=n,V(X)=2n
t 分布 Tt(n)

XN(0,1),Yχ2(n) 相互独立,T=XY/n概率分布

性质
Xt(n)
  • n1E(X)=0
  • n 较大(n>45)时近似有 XN(0,1)
  • X2F(1,n)
F 分布 FF(m,n)

Xχ2(m),Yχ2(n) 相互独立,F=X/mY/n概率分布

性质
XF(m,n)1XF(n,m)

正态总体的抽样分布

单总体情形

{X1,X2,,Xn} 是正态总体 XN(μ,σ2)样本,则

  1. X¯N(μ,σ2n)
  2. (n1)S2σ2χ2(n1)
  3. X¯S2 相互独立;
  4. n(X¯μ)St(n1)

双总体情形

{X1,X2,,Xm} 是正态总体 XN(μ1,σ12)样本{Y1,Y2,,Yn} 是正态总体 YN(μ2,σ22) 的样本,且 XY 相互独立,则

  1. X¯Y¯N(μ1μ2,σ12m+σ22n)
  2. S12/σ12S22/σ22F(m1,n1)
  3. σ1=σ2=σ(X¯Y¯)(μ1μ2)Sw1m+1nt(m+n2)其中Sw2=(m1)S12+(n1)S22m+n2