Skip to content

速度增量法

2022-06-25

碰撞问题大杀器。

简介

质量 m1,速度 v1 的小球与质量 m2,速度 v2 的小球弹性碰撞,无动能损失,则碰后速度 v1,v2 满足

v1+v1=2vv2+v2=2vv=m1v1+m2v2m1+m2

简记为

INFO
  • 出现负值表示反向;
  • 若可能存在动能损失,碰后实际速度 v1[v,v1],v2[v,v2]

原理

由动量定理和动能定理得

(1)m1v1+m2v2=m1v1+m2v2(2)12m1v12+12m2v22=12m1v12+12m2v22

(1)

(3)m1(v1v1)=m2(v2v2)

(2)

m1v12+m2v22=m1v12+m2v22m1(v12v12)+m2(v22v22)=0m1(v1v1)(v1+v1)+m2(v2v2)(v2+v2)=0

(3) 代入

v1+v1=v2+v2(4)v2=v1+v1v2

(4) 代入 (1)

m1v1+m2v2=m1v1+m2(v1+v1v2)(m1+m2)v1=v1(m1m2)+2m2v2v1=v1(m1m2)+2m2v2m1+m2

同理

v2=v1(m2m1)+2m1v1m1+m2

从初态到共速:

Δv1=vv1=m1v1+m2v2m1+m2v1=m2(v2v1)m1+m2Δv2=vv2=m1v1+m2v2m1+m2v2=m1(v1v2)m1+m2

从共速到末态:

Δv1=v1v=v1(m1m2)+2m2v2m1+m2m1v1+m2v2m1+m2=m2(v2v1)m1+m2Δv2=v2v=v1(m2m1)+2m1v1m1+m2m1v1+m2v2m1+m2=m1(v1v2)m1+m2

Δv1=Δv1Δv2=Δv2

两阶段速度增量相等。v 是两小球的平均速度。

v1+v1=2vv2+v2=2v

即证。

例 1

质量为 m,速度为 vA 球和质量为 3m 的静止 B 球发生正碰,可能存在动能损失,碰后 B 球的速度大小可能为

A. 0.6vB. 0.4vC. 0.3vD. 0.2v

v=mv+0m+3m=0.25v

vB[v,vB]=[0.25v,0.5v]。选 BC