概述

皮亚诺公理（自然数公理）定义了一种形如「单向链表」的数数（shǔ shù）方法。

@LR;
0[@n="$0$"]; 1[@n="$1$"]; 2[@n="$2$"]; 3[@n="$3$"]; 4[@n="$4$"]
eli[@n="$\cdots$", @plain]
0 -> 1 -> 2 -> 3 -> 4 -> eli

为了在公理系统中严谨地使用「自然数」，数学家朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）提出了五条公理。

公理一

QUOTE

$0$ 是自然数。

自然数的起点诞生了。

公理二

QUOTE

任何自然数都有一个后继（$n$ 的后继记作 $sn$）。

自然数的雏形有了，大概长这样：

@LR;
0[@n="$0$"]; 1[@n="$1$"]; 2[@n="$2$"]; 3[@n="$3$"]; 4[@n="$4$"]
eli[@n="$\cdots$", @plain]
0 -> 1 -> 2 -> 3 -> 4 -> eli

但也有可能长这样：

@LR;
0[@n="$0$"]; 1[@n="$1$"]; 2[@n="$2$"]; 3[@n="$3$"]; 4[@n="$4$"]
eli[@n="$\cdots$", @plain]
0 -> 1 -> 2 -> 3 -> 4 -> eli

0[@n="$0$"]; 1[@n="$1$"]; 2[@n="$1$"]; 3[@n="$1$"]; 4[@n="$1$"]

还可能长这样：

@neato;
#w = .7;
0[@n="$0$", @(0,#w)];
1[@n="$1$", @(#w,#w)];
2[@n="$2$", @(#w, 0)];
3[@n="$3$", @(0,0)];
0 -> 1 -> 2 -> 3 -> 0

公理三

QUOTE

$0$ 不是任何自然数的后继。

公理三直接排除了如下情况：

@neato;
#w = .7;
0[@n="$0$", @(0,#w)];
1[@n="$1$", @(#w,#w)];
2[@n="$2$", @(#w, 0)];
3[@n="$3$", @(0,0)];
0 -> 1 -> 2 -> 3 -> 0

@LR;
0[@n="$0$"]; 1[@n="$1$"]; 2[@n="$2$"]; 3[@n="$3$"]; 4[@n="$4$"]
eli[@n="$\cdots$", @plain]
0 -> 1 -> 2 -> 3 -> 4 -> eli

0[@n="$0$"]; 1[@n="$1$"]; 2[@n="$0$"]; 3[@n="$1$"]; 4[@n="$0$"]

同时也说明了 $0$ 必须是第一个自然数。但是还可能长成这种造型：

@LR;
0[@n="$0$"]; 1[@n="$1$"]; 2[@n="$2$"]; 3[@n="$3$"]; 4[@n="$4$"]
eli[@n="$\cdots$", @plain]
0 -> 1 -> 2 -> 4 -> eli
3 -> 4

公理四

QUOTE

任取两个自然数 $a,b$，若 $a$ 和 $b$ 后继相同，则 $a=b$，否则 $a\ne b$。

公理四排除了如下情况：

@LR;
0[@n="$0$"]; 1[@n="$1$"]; 2[@n="$2$"]; 3[@n="$3$"]; 4[@n="$4$"]
eli[@n="$\cdots$", @plain]
0 -> 1 -> 2 -> 3 -> 4 -> eli
0[@n="$0$"]; 1[@n="$1$"]; 2[@n="$1$"]; 3[@n="$1$"]; 4[@n="$1$"]

@LR;
0[@n="$0$"]; 1[@n="$1$"]; 2[@n="$2$"]; 3[@n="$3$"]; 4[@n="$4$"]
eli[@n="$\cdots$", @plain]
0 -> 1 -> 2 -> 4 -> eli
3 -> 4

自然数完美了吗？——并没有。还有一种情况：

@LR;
0[@n="$0$"]; 1[@n="$1$"]; 2[@n="$2$"]; 3[@n="$3$"]; 4[@n="$4$"]
eli[@n="$\cdots$", @plain]
0 -> 1 -> 2 -> 3 -> 4 -> eli

0[@n="$0$"]; 1[@n="$0.5$", @normal]; 2[@n="$1$"]; 3[@n="$e$"]; 4[@n="$\pi$"]

这种情况同时满足公理一到四。

公理五

QUOTE

对于命题形式 $A(n)$，若 $A(0)$ 成立，且 $A(n)$ 成立可推出 $A(sn)$ 成立，则 $A$ 对于任意自然数都成立。

公理五其实就是「数学归纳法」。

举个例子，对于命题形式 $A(n):n^2\ge n$，容易证明 $A(0)$ 成立，且 $A(n)\Rightarrow A(sn)$。由于 $0.5,e,\pi$ 等数不符合这个命题形式，因而如下情况被排除：

@LR;
0[@n="$0$"]; 1[@n="$1$"]; 2[@n="$2$"]; 3[@n="$3$"]; 4[@n="$4$"]
eli[@n="$\cdots$", @plain]
0 -> 1 -> 2 -> 3 -> 4 -> eli
0[@n="$0$"]; 1[@n="$0.5$", @normal]; 2[@n="$1$"]; 3[@n="$e$"]; 4[@n="$\pi$"]

这样就得到了一个完美的自然数系统。

@LR;
0[@n="$0$"]; 1[@n="$1$"]; 2[@n="$2$"]; 3[@n="$3$"]; 4[@n="$4$"]
eli[@n="$\cdots$", @plain]
0 -> 1 -> 2 -> 3 -> 4 -> eli

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QUESTION

看似完美的皮亚诺公理，其实潜藏着一个数学危机。德国数学家哥德尔首先发现了这个危机，并进一步提出了哥德尔不完备性定理。