二维连续型随机变量

二维连续型随机变量 $(X,$$Y)$

存在函数 $f(x,$$y)$ 使满足以下条件的二维随机变量。

1. $f(x,$$y)\ge 0$；
2. $(X,$$Y)$ 的联合分布函数满足$$F(x,y)=\mathbb{P}(X\le x,Y\le y)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{y}f(s,t)\mathrm{d}s\mathrm{d}t$$

联合概率密度函数（概率密度函数，分布密度）$f(x,$$y)$

二维连续型随机变量 $X$ 的联合分布函数 $F$ 的广义二阶混合偏导数^[1]。

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}}& \text{if exists}\\ \text{0 usually}& \text{else}\end{array}$$

性质 1

$f(x,$$y)\ge 0$。

性质 2

${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x,}$$y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=$$F(+$$\mathrm{\infty },$$+$$\mathrm{\infty })=$$1$。

性质 3

若 $f(x,$$y)$ 在 $(x,$$y)$ 处连续，则 ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}}=$${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial y\partial x}}=$$f(x,$$y)$。

性质 4

设 $G$ 为一平面区域，则 $\mathbb{P}((x,$$y)\in G)=$${\displaystyle {\iint }_{G}f(x,}$$y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

边缘分布

边缘分布函数 $F_X(x),$$F_Y(y)$

单个连续型随机变量的分布函数。

• $(X,$$Y)$ 关于 $X$ 的边缘分布函数：

  $$F_X(x)=F(x,+\mathrm{\infty })={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(s,t)\mathrm{d}s\mathrm{d}t$$

• $(X,$$Y)$ 关于 $Y$ 的边缘分布函数：

  $$F_Y(y)=F(+\mathrm{\infty },y)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{y}f(s,t)\mathrm{d}s\mathrm{d}t$$

边缘概率密度函数（边缘密度函数）$f_X(x),$$f_Y(y)$

单个连续型随机变量的边缘分布密度函数。

• $(X,$$Y)$ 关于 $X$ 的边缘分布密度函数：$$f_X(x)=\frac{\mathrm{d}{F}_X(x)}{\mathrm{d}x}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x,y)\mathrm{d}y$$
• $(X,$$Y)$ 关于 $Y$ 的边缘分布密度函数：$$f_Y(y)=\frac{\mathrm{d}{F}_Y(y)}{\mathrm{d}y}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x,y)\mathrm{d}x$$

此处导数仍为广义导数^[1:1]。

定理

连续型随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立 的充分必要条件：

$$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$$

条件分布

条件概率密度函数（条件概率密度） $f_{X\mid Y}(x\mid y)$

在条件 $\{Y=y\}$ 下，随机变量 $X$ 的概率密度函数。$$f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$$

均匀分布

均匀分布 $(X,$$Y)\sim U(G)$

设 $G$ 为一有界平面区域，$S_G$ 为其面积：

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{S_G}}& (x,y)\in G\\ 0& \text{else}\end{array}$$

二维正态分布

二维正态分布 $(X,$$Y)\sim N({\mu }_1,$${\mu }_2,$${\sigma }_1^2,$${\sigma }_2^2,$$\rho )$

设 ${\mu }_1,$${\mu }_2,$${\sigma }_1>0,$${\sigma }_2>0,$$|\rho |<1$ 为常数：

$$f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}[{\left(\frac{x-{\mu }_1}{{\sigma }_1}\right)}^2-2\rho \left(\frac{x-{\mu }_1}{{\sigma }_1}\right)\left(\frac{x-{\mu }_2}{{\sigma }_2}\right)+{\left(\frac{x-{\mu }_2}{{\sigma }_2}\right)}^2]}$$

性质

$\rho =$$0$ 是 $X,$$Y$ 相互独立的充分必要条件。

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1. 广义导数：不可导处取任意值的导数函数。 ↩︎ ↩︎