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二维连续型随机变量的分布

2025-06-04

二维连续型随机变量

二维连续型随机变量 (X,Y)

存在函数 f(x,y) 使满足以下条件的二维随机变量

  1. f(x,y)0
  2. (X,Y)联合分布函数 F(x,y)=P(Xx,Yy)=xyf(s,t)dsdt
联合概率密度函数(概率密度函数,分布密度)f(x,y)

二维连续型随机变量 X联合分布函数 F 的广义二阶混合偏导数[1]

f(x,y)={2F(x,y)xyif exists0 usuallyelse
性质 1
f(x,y)0
性质 2
++f(x,y)dxdy=F(+,+)=1
性质 3
f(x,y)(x,y) 处连续,则 2F(x,y)xy=2F(x,y)yx=f(x,y)
性质 4
G 为一平面区域,则 P((x,y)G)=Gf(x,y)dxdy

均匀分布

均匀分布 (X,Y)U(G)

G 为一有界平面区域,SG 为其面积:

f(x,y)={1SG(x,y)G0else

二维正态分布

二维正态分布 (X,Y)N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)

μ1,μ2,σ1>0,σ2>0,|ρ|<1 为常数:

f(x,y)=12πσ1σ21ρ2e12(1ρ2)[(xμ1σ1)22ρ(xμ1σ1)(xμ2σ2)+(xμ2σ2)2]

边缘分布

边缘分布函数 FX(x),FY(y)

单个连续型随机变量的分布函数。

  • (X,Y) 关于 X 的边缘分布函数:

    FX(x)=F(x,+)=x+f(s,t)dsdt
  • (X,Y) 关于 Y 的边缘分布函数:

    FY(y)=F(+,y)=+yf(s,t)dsdt
边缘概率密度函数(边缘密度函数)fX(x),fY(y)

单个连续型随机变量的边缘分布密度函数。

  • (X,Y) 关于 X 的边缘分布密度函数:fX(x)=dFX(x)dx=+f(x,y)dy
  • (X,Y) 关于 Y 的边缘分布密度函数:fY(y)=dFY(y)dy=+f(x,y)dx

此处导数仍为广义导数[1:1]

定理

连续型随机变量 XY 相互独立 的充分必要条件:

f(x,y)=fX(x)fY(y)

条件分布

条件概率密度函数(条件概率密度) fXY(xy)
在条件 {Y=y} 下,随机变量 X 的概率密度函数。fXY(xy)=f(x,y)fY(y)

  1. 广义导数:不可导处取任意值的导数函数。 ↩︎ ↩︎