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常见抽样分布

χ² 分布 $X\sim {\chi }^2(n)$

设 $\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}\stackrel{\mathrm{i}.\mathrm{i}.\mathrm{d}}{\sim }N(0,\phantom{0}$$\phantom{0}1)$ 独立同分布，$X=\phantom{0}$$\phantom{0}\sum _{i=1}^n{X}_i^2$ 的概率分布。

性质 1

若 $Y_1\sim {\chi }^2(m),\phantom{0}$$\phantom{0}{Y}_2\sim {\chi }^2(n)$ 相互独立，则 $Y_1+\phantom{0}$$\phantom{0}{Y}_2\sim {\chi }^2(m+\phantom{0}$$\phantom{0}n)$。

性质 2

若 $X\sim {\chi }^2(n)$ 则 $\mathbb{E}(X)=\phantom{0}$$\phantom{0}n,\phantom{0}$$\phantom{0}\mathbb{V}(X)=\phantom{0}$$\phantom{0}2n$。

t 分布 $T\sim t(n)$

设 $X\sim N(0,\phantom{0}$$\phantom{0}1),\phantom{0}$$\phantom{0}Y\sim {\chi }^2(n)$ 相互独立，$T=\phantom{0}$$\phantom{0}{\displaystyle \frac{X}{\sqrt{Y/n}}}$ 的概率分布。

性质

若 $X\sim t(n)$ 则

• 当 $n\ne \phantom{0}$$\phantom{0}1$ 时 $\mathbb{E}(X)=\phantom{0}$$\phantom{0}0$；
• 当 $n$ 较大（$n>45$）时近似有 $X\sim N(0,\phantom{0}$$\phantom{0}1)$；
• $X^2\sim F(1,\phantom{0}$$\phantom{0}n)$。

F 分布 $F\sim F(m,\phantom{0}$$\phantom{0}n)$

设 $X\sim {\chi }^2(m),\phantom{0}$$\phantom{0}Y\sim {\chi }^2(n)$ 相互独立，$F=\phantom{0}$$\phantom{0}{\displaystyle \frac{X/m}{Y/n}}$ 的概率分布。

性质

若 $X\sim F(m,\phantom{0}$$\phantom{0}n)$ 则 ${\displaystyle \frac{1}{X}}\sim F(n,\phantom{0}$$\phantom{0}m)$。

正态总体的抽样分布

单总体情形

设 $\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}$ 是正态总体 $X\sim N(\mu ,\phantom{0}$$\phantom{0}{\sigma }^2)$ 的样本，则

1. $\overline{X}\sim N(\mu ,{\displaystyle \frac{{\sigma }^2}{n}})$；
2. ${\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}}\sim {\chi }^2(n-\phantom{0}$$\phantom{0}1)$；
3. $\overline{X}$ 与 $S^2$ 相互独立；
4. ${\displaystyle \frac{\overline{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}}\sim t(n-\phantom{0}$$\phantom{0}1)$。

双总体情形

设 $\{X_1,X_2,\cdots ,X_m\}$ 是正态总体 $X\sim N({\mu }_1,\phantom{0}$$\phantom{0}{\sigma }_1^2)$ 的样本，$\{Y_1,Y_2,\cdots ,Y_n\}$ 是正态总体 $Y\sim N({\mu }_2,\phantom{0}$$\phantom{0}{\sigma }_2^2)$ 的样本，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则

1. $\overline{X}-\phantom{0}$$\phantom{0}\overline{Y}\sim N({\mu }_1-{\mu }_2,{\displaystyle \frac{{\sigma }_1^2}{m}}+{\displaystyle \frac{{\sigma }_2^2}{n}})$；
2. ${\displaystyle \frac{S_1^2/{\sigma }_1^2}{S_2^2/{\sigma }_2^2}}\sim F(m-\phantom{0}$$\phantom{0}1,\phantom{0}$$\phantom{0}n-\phantom{0}$$\phantom{0}1)$；
3. 当 ${\sigma }_1=\phantom{0}$$\phantom{0}{\sigma }_2=\phantom{0}$$\phantom{0}\sigma$ 时$$\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{S_w\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{m}}+{\displaystyle \frac{1}{n}}}}\sim t(m+n-2)$$其中$$S_w^2=\frac{(m-1)S_1^2+(n-1)S_2^2}{m+n-2}$$