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总体

个体 $X_i$

随机变量。

个体的观测值 $x_i$

个体在一次观测行为 $\omega$ 中的观测值 $x_i=\phantom{0}$$\phantom{0}{X}_i(\omega )$。

总体 $X,\phantom{0}$$\phantom{0}Y,\phantom{0}$$\phantom{0}Z,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots$

个体的集合。

总体分布（总体） $X,\phantom{0}$$\phantom{0}Y,\phantom{0}$$\phantom{0}Z,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots$

概率分布，和总体用相同的符号表示。

总体随机变量（总体）$X,\phantom{0}$$\phantom{0}Y,\phantom{0}$$\phantom{0}Z,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots$

服从总体分布的抽象随机变量，和总体用相同的符号表示。

如何描述一个总体

总体 $X\sim N(0,\phantom{0}$$\phantom{0}1)$ 是一个标准正态分布总体，记作 $X$，其中

• 总体分布是 $X\equiv N(0,\phantom{0}$$\phantom{0}1)$；
• 总体随机变量是 $X$。

INFO

数理统计中的样本空间 $\mathrm{\Omega }$ 是观测行为的集合，每个样本点 $\omega \in \mathrm{\Omega }$ 都表示一次观测行为。

对于观测行为 $\omega$，个体 $X_i$ 会将其映射成观测值 $X_i(\omega )$。

样本

样本（子样）$(X_1,\phantom{0}$$\phantom{0}{X}_2,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots ,\phantom{0}$$\phantom{0}{X}_n)$

由多个个体组成的有序向量。

样本容量（样本大小）$n$

样本的大小。一般要求 $n\ge 2$。理论上可以为无穷大。

样本观测值 $(x_1,\phantom{0}$$\phantom{0}{x}_2,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots ,\phantom{0}$$\phantom{0}{x}_n)$

样本中个体的观测值组成的有序向量 $(X_1(\omega ),\phantom{0}$$\phantom{0}{X}_2(\omega ),\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots ,\phantom{0}$$\phantom{0}{X}_n(\omega ))$。

简单随机样本（样本）$(X_1,\phantom{0}$$\phantom{0}{X}_2,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots ,\phantom{0}$$\phantom{0}{X}_n)$

样本中的个体 $\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}\stackrel{\mathrm{i}.\mathrm{i}.\mathrm{d}}{\sim }X$ 独立同分布，即

• 独立性：$X_1,\phantom{0}$$\phantom{0}{X}_2,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots ,\phantom{0}$$\phantom{0}{X}_n$ 相互独立；
• 同分布性：$X_1,\phantom{0}$$\phantom{0}{X}_2,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots ,\phantom{0}$$\phantom{0}{X}_n$ 均服从总体分布。

定理

设 $(X_1,\phantom{0}$$\phantom{0}{X}_2,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots ,\phantom{0}$$\phantom{0}{X}_n)$ 是总体 $X$ 的一个样本。

• 样本的联合分布函数为$$F(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=\prod _{i=1}^n{F}_{X_i}(x_i)$$
• 若总体为连续型随机变量：样本的概率密度函数为$$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=\prod _{i=1}^n{f}_{X_i}(x_i)$$
• 若总体为离散型随机变量：样本的分布律为$$\mathbb{P}(X_1=x_1,X_2=x_2,\cdots ,X_n=x_n)=\prod _{i=1}^n\mathbb{P}(X_i=x_i)$$

统计量

统计量（样本函数） $T=\phantom{0}$$\phantom{0}T(X_1,\phantom{0}$$\phantom{0}{X}_2,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots ,\phantom{0}$$\phantom{0}{X}_n)$

样本的函数 $T$。

统计量的观测值 $t=\phantom{0}$$\phantom{0}T(x_1,\phantom{0}$$\phantom{0}{x}_2,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots ,\phantom{0}$$\phantom{0}{x}_n)$

对样本观测值应用统计量的同一函数，用统计量的小写形式表示。

样本均值 $\overline{X}$

$$\overline{X}={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{X}_i$$

样本方差 $S^2$

$$\begin{array}{rl}{S}^2& =\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{(X_i-\overline{X})}^2\\ & =\frac{1}{n-1}(\sum _{i=1}^n{X}_i^2-n{\overline{X}}^2)\end{array}$$

样本均方差（样本标准差）$S$

$$S=\sqrt{S^2}$$

样本顺序统计量（顺序统计量）$X_{(i)}$

将样本按观测值排序后的第 $i$ 个个体（$i=\phantom{0}$$\phantom{0}1,\phantom{0}$$\phantom{0}2,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots ,\phantom{0}$$\phantom{0}n$）。

最小顺序统计量 $X_{(1)}$

$$X_{(1)}=min\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}$$

最大顺序统计量 $X_{(n)}$

$$X_{(n)}=max\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}$$

样本极差 $R$

$$R=X_{(n)}-X_{(1)}$$

样本中位数 $M_e$

$$M_e=\{\begin{array}{ll}{X}_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}& n=2k+1\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}(X_{\left(\frac{n}{2}\right)}+X_{\left(\frac{n+1}{2}\right)})& n=2k\end{array}(k\in \mathbb{N})$$

经验分布函数

$$F_n(x)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}I(x_i\le x)=\{\begin{array}{ll}0& x<x_{(1)}\\ \frac{k}{n}& x_{(k)}\le x<x_{(k+1)},k=1,2,\cdots ,n-1\\ 1& x_{(n)}\le x\end{array}$$其中 $I(A)$ 为指示函数，即当 $A$ 为真命题时为 $1$，否则为 $0$。