二维离散型随机变量

二维离散型随机变量 $(X,\phantom{0}$$\phantom{0}Y)$

两个离散型随机变量 $X,\phantom{0}$$\phantom{0}Y$ 的组合。

联合分布律（联合分布列，分布律，分布列）

二维离散型随机变量的取值与对应的概率。

$$\mathbb{P}(X=x_i,Y=y_k)=p_{ij}(i,j=1,2,\cdots )$$

也可用表格描述。

$X\mathrm{\setminus }Y$	$y_1$	$y_2$	$\cdots$	$y_j$	$\cdots$
$x_1$	$p_{11}$	$p_{12}$	$\cdots$	$p_{1j}$	$\cdots$
$x_2$	$p_{21}$	$p_{22}$	$\cdots$	$p_{2j}$	$\cdots$
$⋮$	$⋮$	$⋮$		$⋮$
$x_i$	$p_{i1}$	$p_{i2}$	$\cdots$	$p_{ij}$	$\cdots$
$⋮$	$⋮$	$⋮$		$⋮$

边缘分布律

边缘分布律

单个离散型随机变量的分布律。

• $(X,\phantom{0}$$\phantom{0}Y)$ 关于 $X$ 的边缘分布律：$$\mathbb{P}(X=x_i)=p_{i\cdot }=\sum _j{p}_{ij}(i=1,2,\cdots )$$
• $(X,\phantom{0}$$\phantom{0}Y)$ 关于 $Y$ 的边缘分布律：$$\mathbb{P}(Y=y_i)=p_{\cdot j}=\sum _i{p}_{ij}(j=1,2,\cdots )$$

边缘分布律在联合分布律表格的边缘。

$X\mathrm{\setminus }Y$	$y_1$	$y_2$	$\cdots$	$y_j$	$\cdots$	$p_{i\cdot }$
$x_1$	$p_{11}$	$p_{12}$	$\cdots$	$p_{1j}$	$\cdots$	$p_{1\cdot }$
$x_2$	$p_{21}$	$p_{22}$	$\cdots$	$p_{2j}$	$\cdots$	$p_{2\cdot }$
$⋮$	$⋮$	$⋮$		$⋮$		$⋮$
$x_i$	$p_{i1}$	$p_{i2}$	$\cdots$	$p_{ij}$	$\cdots$	$p_{i\cdot }$
$⋮$	$⋮$	$⋮$		$⋮$		$⋮$
$p_{\cdot i}$	$p_{\cdot 1}$	$p_{\cdot 2}$	$\cdots$	$p_{\cdot j}$	$\cdots$	$1$

定理

离散型随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立 的充分必要条件：对任意 $i,\phantom{0}$$\phantom{0}j=\phantom{0}$$\phantom{0}1,\phantom{0}$$\phantom{0}2,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots$，事件 $\{X=x_i\}$ 和 $\{Y=y_j\}$ 都相互独立，即

$$\mathbb{P}(X=x_i,Y=y_j)=\mathbb{P}(X=x_i)\mathbb{P}(Y=y_j)$$$$\iff p_{ij}=p_{i\cdot }{p}_{\cdot j}$$

条件分布律

条件分布率

当 $\mathbb{P}(Y=\phantom{0}$$\phantom{0}{y}_i)>0$ 时，在条件 $\{Y=y_j\}$ 下，随机事件 $\{X=x_i\}$ 发生的概率。$$\mathbb{P}(X=x_i\mid Y=y_j)=\frac{\mathbb{P}(X=x_i,Y=y_i)}{\mathbb{P}(Y=y_i)}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}(i=1,2,\cdots )$$