二维随机变量

二维随机变量（二维随机向量）$(X,\phantom{0}$$\phantom{0}Y)$

两个随机变量 $X,\phantom{0}$$\phantom{0}Y$ 的组合。

联合分布函数

联合分布函数（分布函数） $F(x,\phantom{0}$$\phantom{0}y)$

$X\le x$ 且 $Y\le y$ 的概率，即 $F:{\mathbb{R}}^2\mapsto \mathbb{R}$，$F(x,\phantom{0}$$\phantom{0}y)=\phantom{0}$$\phantom{0}\mathbb{P}(X\le x,\phantom{0}$$\phantom{0}Y\le y)$。

性质 1

$F(x,\phantom{0}$$\phantom{0}y)$ 分别是关于 $x,\phantom{0}$$\phantom{0}y$ 的单调不减函数。

性质 2

$F(x,\phantom{0}$$\phantom{0}y)$ 非负有界，即

• $F(x,\phantom{0}$$\phantom{0}-\phantom{0}$$\phantom{0}\mathrm{\infty })=\phantom{0}$$\phantom{0}\underset{y\to -\mathrm{\infty }}{lim}F(x,\phantom{0}$$\phantom{0}y)=\phantom{0}$$\phantom{0}0$；
• $F(-\mathrm{\infty },\phantom{0}$$\phantom{0}y)=\phantom{0}$$\phantom{0}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}F(x,\phantom{0}$$\phantom{0}y)=\phantom{0}$$\phantom{0}0$；
• $F(-\mathrm{\infty },\phantom{0}$$\phantom{0}-\phantom{0}$$\phantom{0}\mathrm{\infty })=\phantom{0}$$\phantom{0}0$；
• $F(+\mathrm{\infty },\phantom{0}$$\phantom{0}+\phantom{0}$$\phantom{0}\mathrm{\infty })=\phantom{0}$$\phantom{0}1$。

性质 3

$F(x,\phantom{0}$$\phantom{0}y)$ 分别是关于 $x,\phantom{0}$$\phantom{0}y$ 的右连续函数，即 $F(x^{+}\phantom{0}$$\phantom{0},\phantom{0}$$\phantom{0}y)=\phantom{0}$$\phantom{0}F(x,\phantom{0}$$\phantom{0}{y}^{+}\phantom{0}$$\phantom{0})=\phantom{0}$$\phantom{0}F(x,\phantom{0}$$\phantom{0}y)$。

性质 4

对任意 $(x_1,\phantom{0}$$\phantom{0}{y}_1),\phantom{0}$$\phantom{0}(x_2,\phantom{0}$$\phantom{0}{y}_2)$，若 $x_1<x_2,\phantom{0}$$\phantom{0}{y}_1<y_2$，则$$0\le F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)\le 1$$

INFO

• $F_X(x)=\phantom{0}$$\phantom{0}\mathbb{P}(X\le x)=\phantom{0}$$\phantom{0}F(x,\phantom{0}$$\phantom{0}+\phantom{0}$$\phantom{0}\mathrm{\infty })$

• $F_Y(y)=\phantom{0}$$\phantom{0}\mathbb{P}(Y\le y)=\phantom{0}$$\phantom{0}F(+\mathrm{\infty },\phantom{0}$$\phantom{0}y)$

• $\mathbb{P}(x_1<X\le x_2,\phantom{0}$$\phantom{0}{y}_1<Y\le y_2)=\phantom{0}$$\phantom{0}F(x_2,\phantom{0}$$\phantom{0}{y}_2)-\phantom{0}$$\phantom{0}F(x_1,\phantom{0}$$\phantom{0}{y}_2)-\phantom{0}$$\phantom{0}F(x_2,\phantom{0}$$\phantom{0}{y}_1)+\phantom{0}$$\phantom{0}F(x_1,\phantom{0}$$\phantom{0}{y}_1)$

  参考基础 DP：二维前缀和：查询。

边缘分布函数

边缘分布函数

用联合分布函数表示单个随机变量的分布函数，即$$F_X(x)=\mathbb{P}(X\le x)=F(x,+\mathrm{\infty })$$$$F_Y(y)=\mathbb{P}(Y\le y)=F(+\mathrm{\infty },y)$$

随机变量的独立性

随机变量 $X,\phantom{0}$$\phantom{0}Y$ 相互独立，当且仅当：任取 $x,\phantom{0}$$\phantom{0}y\in \mathbb{R}$，事件 $\{X\le x\}$ 和 $\{Y\le y\}$ 都相互独立，即

$$\mathbb{P}(X\le x,Y\le y)=\mathbb{P}(X\le x)\mathbb{P}(Y\le y)$$$$\iff F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$$

随机变量 $X_1,\phantom{0}$$\phantom{0}{X}_2,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots ,\phantom{0}$$\phantom{0}{X}_n$ 相互独立，当且仅当：任取 $x_1,\phantom{0}$$\phantom{0}{x}_2,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots ,\phantom{0}$$\phantom{0}{x}_n\in \mathbb{R}$，事件 $\{X_1\le x_1\}$，$\{X_2\le x_2\}$，$\cdots$，$\{X_n\le x_n\}$ 都相互独立。