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离散型随机变量函数的分布

对于离散型随机变量 $X$，设 $Y=\phantom{0}$$\phantom{0}g(X)$，则 $Y$ 的分布列为

$$\mathbb{P}(Y=y_k)=\sum _{g(x_i)=y_k}\mathbb{P}(X=x_i)$$

连续型随机变量函数的分布

对于连续型随机变量 $X$，设 $Y=\phantom{0}$$\phantom{0}g(X)$，且 $g$ 是严格单调且可导的函数，则 $Y$ 的分布函数和概率密度函数为

$$F_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{F}_X(g^{-1}(y))& y\in \mathrm{ran}g\wedge g\uparrow \\ 1-F_X(g^{-1}(y))& y\in \mathrm{ran}g\wedge g\downarrow \\ 0& \text{else}\end{array}$$$$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{f}_X(g^{-1}(y))|{\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}}{g}^{-1}(y)|& y\in \mathrm{ran}g\\ 0& \text{else}\end{array}$$

证

钦定 $y\in \mathrm{ran}g$，即 $y\in \mathrm{dom}(g^{-1})$。

当 $g\uparrow$ 时有 $g^{-1}\uparrow$，${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}}{g}^{-1}(y)>0$，故

$$F_Y(y)=\mathbb{P}(Y\le y)=\mathbb{P}(g(X)\le y)=\mathbb{P}(x\le g^{-1}(y))=F_X(g^{-1}(y))$$$$f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}{g}^{-1}(y)=f_X(g^{-1}(y))|{\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}}{g}^{-1}(y)|$$

当 $g\downarrow$ 时有 $g^{-1}\downarrow$，${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}}{g}^{-1}(y)<0$，故

$$F_Y(y)=\mathbb{P}(Y\le y)=\mathbb{P}(g(X)\ge y)=\mathbb{P}(x\ge g^{-1}(y))=1-F_X(g^{-1}(y))$$$$f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\cdot (-1)\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}{g}^{-1}(y)=f_X(g^{-1}(y))|{\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}}{g}^{-1}(y)|$$