离散型随机变量

离散型随机变量 $X$

有有限个或可列个取值的随机变量。

分布律（分布列）

离散型随机变量的概率分布。

$$\mathbb{P}(X=x_k)=p_k(k=1,2,\cdots )$$

也可用表格呈现。

$X$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_k$	$\cdots$
$\mathbb{P}$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_k$	$\cdots$

性质 1

$p_k\ge 0$。

性质 2

$\sum _k{p}_k=\phantom{0}$$\phantom{0}1$。

0-1 分布

0-1 分布（伯努利分布，两点分布）

随机变量 $X$ 只可能取 $0$ 和 $1$ 两个值时的概率分布，即$$\mathbb{P}(X=1)=p,\mathbb{P}(X=0)=1-p(0<p<1)$$

二项分布

二项分布 $X\sim B(n,\phantom{0}$$\phantom{0}p)$

在 N 重伯努利概型试验 中，设 $\mathbb{P}(A)=\phantom{0}$$\phantom{0}p$，事件 $A$ 发生次数 $X$ 的概率分布。

$$\mathbb{P}(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}(k=0,1,2,\cdots ,n;0<p<1)$$

推论

若 $X\sim B(n,\phantom{0}$$\phantom{0}p)$，当 $k=\phantom{0}$$\phantom{0}{k}_0$ 时，$\mathbb{P}(X=\phantom{0}$$\phantom{0}k)$ 达到最大，其中$$k_0=\{\begin{array}{ll}(n+1)p\text{ 或 }(n+1)p-1& (n+1)p\in \mathbb{N}\\ (n+1)p& (n+1)p\notin \mathbb{N}\end{array}$$

泊松分布

泊松分布 $X\sim P(\lambda )$

二项分布的一种近似。$$\mathbb{P}(X=k)={\mathrm{e}}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}(k=0,1,2,\cdots )$$

泊松定理

二项分布 $B(n,\phantom{0}$$\phantom{0}p)$ 在 $n\to \mathrm{\infty }$ 的极限是泊松分布 $P(n\cdot p)$，即$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}]={\mathrm{e}}^{-n\cdot p}\frac{(n\cdot p{)}^k}{k!}(k=0,1,2,\cdots ;0<p<1)$$

INFO

当 $n\ge 10$ 且 $p\le 0.1$ 时，泊松分布和二项分布几乎相同。

几何分布

几何分布 $X\sim G(p)$

在无穷多重伯努利概型试验 中，设 $\mathbb{P}(A)=\phantom{0}$$\phantom{0}p$，事件 $A$ 第一次发生于所需要的试验次数 $X$ 的概率分布。$$\mathbb{P}(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p(k=1,2,\cdots )$$

超几何分布

超几何分布 $X\sim H(N,\phantom{0}$$\phantom{0}M,\phantom{0}$$\phantom{0}n)$

$N$ 个元素中，有 $M$ 个属于第一类。现从中不重复抽取 $n$ 个元素，其中第一类元素的数量 $X$ 的概率分布。

$$\mathbb{P}(X=k)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{M}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-M}{n-k})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n})}(k=max\{0,n-(N-M)\},\cdots ,min\{n,M\})$$