随机变量

随机变量 $X,\phantom{0}$$\phantom{0}Y,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots$

对于随机试验 $E$ 的样本空间 $\mathrm{\Omega }$，任取 $\omega \in \mathrm{\Omega }$，都有唯一确定的实数 $X(\omega )$ 与之对应，即 $X:\mathrm{\Omega }\mapsto \mathbb{R}$。

离散型随机变量 $X,\phantom{0}$$\phantom{0}Y,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots$

$\{X(\omega )\mid \omega \in \mathrm{\Omega }\}$ 是有限或可列的。

非离散型随机变量 $X,\phantom{0}$$\phantom{0}Y,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots$

$\{X(\omega )\mid \omega \in \mathrm{\Omega }\}$ 是无限且不可列的。

概率分布（分布）

随机变量的取值规律。

INFO

对随机变量进行数学约束，可以形成随机事件。例如：

• $\{\omega \mid X(\omega )>0\}$ 是一个随机事件，简记为 $\{X>0\}$；
• $\{\omega \mid X(\omega )=Y(\omega )\}$ 是一个随机事件，简记为 $\{X=Y\}$。

分布函数

分布函数 $F_X(x)$

随机变量 $X\le x$ 的概率，即 $F_X:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}$，$F_X(x)=\phantom{0}$$\phantom{0}\mathbb{P}(X\le x)$。

性质 1

$F_X(x)$ 是单调不减函数，即 $\mathrm{\forall }{x}_1<x_2,\phantom{0}$$\phantom{0}{F}_X(x_1)\le F(x_2)$。

性质 2

$F_X(x)$ 非负有界，即

• $0\le F_X(x)\le 1$；
• $F_X(-\mathrm{\infty })=\phantom{0}$$\phantom{0}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{F}_X(x)=\phantom{0}$$\phantom{0}0$；
• $F_X(+\mathrm{\infty })=\phantom{0}$$\phantom{0}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{F}_X(x)=\phantom{0}$$\phantom{0}1$。

性质 3

$F_X(x)$ 是右连续函数，即 $F_X(x^{+}\phantom{0}$$\phantom{0})=\phantom{0}$$\phantom{0}\underset{u\to x^{+}}{lim}{F}_X(u)=\phantom{0}$$\phantom{0}{F}_X(x)$。

INFO

• $\mathbb{P}(X>x)=\phantom{0}$$\phantom{0}1-\phantom{0}$$\phantom{0}{F}_X(x)$
• $\mathbb{P}(X<x)=\phantom{0}$$\phantom{0}{F}_X(x^{-}\phantom{0}$$\phantom{0})$
• $\mathbb{P}(X=\phantom{0}$$\phantom{0}x)=\phantom{0}$$\phantom{0}{F}_X(x)-\phantom{0}$$\phantom{0}{F}_X(x^{-}\phantom{0}$$\phantom{0})$
• $\mathbb{P}(x_1<X\le x_2)=\phantom{0}$$\phantom{0}{F}_X(x_2)-\phantom{0}$$\phantom{0}{F}_X(x_1)$
• $\mathbb{P}(x_1\le X\le x_2)=\phantom{0}$$\phantom{0}{F}_X(x_2)-\phantom{0}$$\phantom{0}{F}_X(x_1^{-}\phantom{0}$$\phantom{0})$
• $\mathbb{P}(x_1<X<x_2)=\phantom{0}$$\phantom{0}F(x_2^{-}\phantom{0}$$\phantom{0})-\phantom{0}$$\phantom{0}{F}_X(x^1)$