两两独立

$A_1,\phantom{0}$$\phantom{0}{A}_2,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots ,\phantom{0}$$\phantom{0}{A}_n$ 两两独立，当且仅当：对于任意 $i\ne \phantom{0}$$\phantom{0}j$ 都有

$$\mathbb{P}(A_i{A}_j)=\mathbb{P}(A_i)\mathbb{P}(A_j)$$

推论 1

若 $A,\phantom{0}$$\phantom{0}B$ 两两独立，且 $\mathbb{P}(A)>0,\phantom{0}$$\phantom{0}\mathbb{P}(B)>0$，则有

$$\mathbb{P}(B\mid A)=\frac{\mathbb{P}(AB)}{\mathbb{P}(A)}=\frac{\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)}{\mathbb{P}(A)}=\mathbb{P}(B)$$

同理有 $\mathbb{P}(A\mid B)=\phantom{0}$$\phantom{0}\mathbb{P}(A)$。

推论 2

若 $A,\phantom{0}$$\phantom{0}B$ 两两独立，则 $A,\phantom{0}$$\phantom{0}\overline{B}$ 两两独立。

证

由 $\mathbb{P}(AB)=\phantom{0}$$\phantom{0}\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)$ 得

$$\begin{array}{rl}\mathbb{P}(A\overline{B})& =\mathbb{P}(A-AB)=\mathbb{P}(A)-\mathbb{P}(AB)\\ & =\mathbb{P}(A)-\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)\\ & =\mathbb{P}(A)(1-\mathbb{P}(B))\\ & =\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(\overline{B})\end{array}$$

$\therefore A,\phantom{0}$$\phantom{0}\overline{B}$ 两两独立。

相互独立

$A_1,\phantom{0}$$\phantom{0}{A}_2,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots ,\phantom{0}$$\phantom{0}{A}_n$ 相互独立，当且仅当：对于任意子集 $\{i_1,i_2,\cdots ,i_k\}\subset \{1,2,\cdots ,n\}$ 都有

$$\mathbb{P}(A_{i_1}{A}_{i_2}\cdots A_{i_k})=\mathbb{P}(A_{i_1})\mathbb{P}(A_{i_2})\cdots \mathbb{P}(A_{i_k})$$

试验的独立性

随机试验 $E_1,\phantom{0}$$\phantom{0}{E}_2,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots ,\phantom{0}$$\phantom{0}{E}_n$ 相互独立，当且仅当：任取随机事件 $A_1\in {\mathcal{F}}_{E_1}$，$A_2\in {\mathcal{F}}_{E_2}$，$\cdots$，$A_n\in {\mathcal{F}}_{E_n}$，都有 $A_1,\phantom{0}$$\phantom{0}{A}_2,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots ,\phantom{0}$$\phantom{0}{A}_n$ 相互独立。其中 ${\mathcal{F}}_{E_i}$ 是随机试验 $E_i$ 的事件集。

独立重复试验

进行多次相同且相互独立的随机试验。

伯努利概型试验

只涉及一个事件的独立重复试验。

N 重伯努利概型试验

进行 N 次试验的伯努利概型试验。

定理 1

在 N 重伯努利概型试验中，设事件 $A$ 发生 $k$ 次的概率为 $p_n(k)$，则$$p_n(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\mathbb{P}(A{)}^k(1-\mathbb{P}(A){)}^{n-k}$$

无穷多重伯努利概型试验

进行无穷次试验的伯努利概型试验。

定理 2

在 无穷多重伯努利概型试验中，设事件 $A$ 在第 $k$ 次试验首次发生的概率为 $g(k)$，则$$g(k)=(1-\mathbb{P}(A){)}^{k-1}\mathbb{P}(A)$$