基本思想

龙贝格求积公式是一种基于「递推梯形公式」和「外推公式」的数值积分方法，能够自动控制精度并提高积分计算的效率。

递推梯形公式

将积分区间 $[a,\phantom{0}$$\phantom{0}b]$ 均分为 $n$ 等份，步长 $h=\phantom{0}$$\phantom{0}{\displaystyle \frac{b-a}{n}}$，节点 $x_i=\phantom{0}$$\phantom{0}a+\phantom{0}$$\phantom{0}ih$，复合梯形公式为

$$T_n=\frac{b-a}{2n}[f(a)+2\sum _{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(b)]$$

当将区间 $[a,\phantom{0}$$\phantom{0}b]$ 划分为 $2n$ 等份时，复合梯形公式变为

$$T_{2n}=\frac{b-a}{4n}[f(a)+2\sum _{i=1}^{n-1}f(x_i)+2\sum _{i=0}^{n-1}f(x_{i+\frac{1}{2}})+f(b)]$$

得到递推梯形公式

$$T_{2n}=\frac{1}{2}{T}_n+\frac{b-a}{2n}\sum _{i=0}^{n-1}f(x_{i+\frac{1}{2}})$$

外推公式

外推

利用已有数值结果，推断更高精度的近似值。

外推公式

利用不同步长（如 $h,\phantom{0}$$\phantom{0}h/\phantom{0}$$\phantom{0}2,\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots$）的公式进行外推。

注意到复合梯形公式 $T_n$ 和 $T_{2n}$ 的余项分别为

$$\begin{array}{c}R(T_n)=-\frac{b-a}{12}{\left(\frac{b-a}{n}\right)}^2{f}^{″}(\eta )\\ R(T_{2n})=-\frac{b-a}{12}{\left(\frac{b-a}{2n}\right)}^2{f}^{″}(\eta )\end{array}$$

二式中 $\eta \in (a,\phantom{0}$$\phantom{0}b)$ 是同一个常数，故

$$R(T_n)=4R(T_{2n})$$

记 $I=\phantom{0}$$\phantom{0}{\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ 为积分的准确值，则

$$\begin{array}{c}I-T_n=4(I-T_{2n})\\ 3I=4T_{2n}-T_n\\ I=\frac{4}{3}{T}_{2n}-\frac{1}{3}{T}_n\end{array}$$

以上为递推梯形公式导出的外推公式。

QUOTE

$n$ 阶牛顿-柯特斯公式的外推公式是 $2n$ 阶牛顿-柯特斯公式。

龙贝格算法

$$\begin{array}{ccccc}k\mathrm{\setminus }j& 0& 1& 2& \cdots \\ 0& T_{0,0}& & & \\ 1& T_{1,0}& T_{1,1}& & \\ 2& T_{2,0}& T_{2,1}& T_{2,2}& \\ 3& T_{3,0}& T_{3,1}& T_{3,2}& T_{3,3}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\end{array}$$

1. 计算初始梯形值：$$T_{0,0}=\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]$$
2. 通过递推梯形公式计算后续的梯形值：$$T_{k,0}=\frac{1}{2}{T}_{k-1,0}+h_k\sum _{i=0}^{2^k-1}f(a+(2i+1)h_k)$$其中 $h_k=\phantom{0}$$\phantom{0}{\displaystyle \frac{b-a}{2^k}}$；
3. 应用外推公式生成更精确的积分近似值：$$T_{k,m}=\frac{4^m\cdot T_{k,m-1}-T_{k-1,m-1}}{4^m-1}$$
4. 对于指定精度 $\epsilon$，若 $|T_{k,m}-\phantom{0}$$\phantom{0}{T}_{k-1,m-1}|<\epsilon$，则认为 $T_{k,m}$ 达到目标精度。

QUOTE

$T_{k,m}$ 的代数精度为 $2m$，收敛阶为 $O\left(h^{2(m+1)}\right)$。