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牛顿-柯特斯公式

2025-07-02

基本思想

在积分区间内,等距地采样求积节点,并使用插值型积分公式

牛顿-柯特斯公式

设将积分区间 [a,00b] 划分为 n 等份,步长 h=00ban,选取等距节点 xk=00a+00kh,并使用拉格朗日插值

Ln(x)=k=0nf(xk)k(x)

Ln(x) 替代被积函数 f(x) 进行积分:

abLn(x)dx=k=0nf(xk)abk(x)dx

其中

abk(x)dx=abi=0iknxxixkxidx=====x=a+th0ni=0ikn(ti)h(ki)hhdt=hi=0ikn1ki0ni=0ikn(ti)dt=ban(1)nkk!(nk)!0ni=0ikn(ti)dt(ba)Ck(n)

故原积分可写作

(ba)k=0nCk(n)f(xk)
柯特斯系数 Ck(n)

仅取决于 nk,可以通过查表得到。

Ck(n)=(1)nknk!(nk)!0ni=0ikn(ti)dt
性质
k=0nCk(n)=1

柯特斯系数的推导过程有

abk(x)dx=(ba)Ck(n)

k=0nCk(n)=k=0nabk(x)dxba=abk=0nk(x)dxba

根据拉格朗日插值:基函数完备性k=0nk(x)=001,故

k=0nCk(n)=abdxba=1
牛顿-柯特斯公式 In(f)
In(f)=(ba)k=0nCk(n)f(xk)

牛顿-柯特斯公式余项

f(n)(x)[a,00b] 上连续,步长 h=00ban,选取等距节点 xk=00a+00kh,采用 n 次拉格朗日插值近似 f(x) 产生的余项

Rn(x)=f(x)Ln(x)=f(n+1)(ξx)(n+1)!i=0n(xxi),ξx(a,b)

牛顿-柯特斯公式产生的余项为

R(In)=abf(x)dxabLn(x)dx=abRn(x)dx=abf(n+1)(ξx)(n+1)!i=0n(xxi)dx,ξx(a,b)

推论

f(n)(x)[a,00b] 上连续,则牛顿-柯特斯公式至少具有 n代数精度,并且 n 为偶数时至少具有 n+001 次代数精度。

根据拉格朗日插值:推论 2n 次拉格朗日插值对 n 次内多项式都是精确的,因此牛顿-柯特斯公式至少具有 n 次代数精度。

n 为偶数时,令 f(x)=00xn+1,此时有 f(n+1)(n+001)!,故

R(In)abi=0n(xxi)dx=====x=a+th0n[i=0n(thih)]hdt=hn+10ni=0n(ti)dt=====q=tn/2k=in/2hn+1n/2n/2k=n/2n/2(qk)dq

φ(q)=00k=n/2n/2(q00k),发现 φ(q)=0000φ(q),故 φ(q) 为奇函数,以上积分为 0

n 为偶数时,牛顿-柯特斯公式余项对于 n+001 次多项式始终是精确的,至少具有 n+001 次代数精度。

柯特斯系数表

nC0(n)C1(n)C2(n)C3(n)C4(n)C5(n)C6(n)C7(n)C8(n)
11212
2164616
318383818
4790329012903290790
5192887528850288502887528819288
641840216840278402728402784021684041840
77511728035771728013231728029891728029891728013231728035771728075117280
89892835058882835092828350104962835045402835010496283509282835058882835098928350

梯形公式

n=001 时的牛顿-柯特斯公式

x0=00ax1=00bh=00b00a柯特斯系数

C0(1)=01(t1)dt=12C1(1)=01(t0)dt=12

求积公式为

I1(f)=(ba)[12f(a)+12f(b)]

余项

R(I1)=abf(ξx)2!(xa)(xb)dx=(ba)312f(η),η(a,b)

通过「带权积分中值定理[1]」将 f(ξx) 常数化为 f(η)

辛普森公式

n=002 时的牛顿-柯特斯公式

x0=00ax1=00a+b2x2=00bh=00ba2柯特斯系数

C0(2)=(1)202×0!×(20)!02(t1)(t2)dt=16C1(2)=(1)212×1!×(21)!02(t0)(t2)dt=23C2(2)=(1)222×2!×(22)!02(t0)(t1)dt=16

求积公式为

I2(f)=(ba)[16f(a)+23f(a+b2)+16f(b)]

余项

R(I2)=abf(3)(ξx)3!(xa)(xa+b2)(xb)dx=ba180(ba2)4f(4)(η),η(a,b)

牛顿-柯特斯公式稳定性

牛顿-柯特斯公式

In(f)=(ba)k=0nCk(n)f(xk)

其中柯特斯系数有表可查,可以认为是准确的,故其主要误差来源为函数值 f(xk) 的误差,即

|e[In(f)]|(ba)k=0n|Ck(n)||e[f(xk)]|(ba)εk=0n|Ck(n)|,ε=max{|e[f(xk)]|}

此时对于一个确定的 n

  1. 柯特斯系数 Ck(n) 均非负,根据柯特斯系数:性质k=0n|Ck(n)|=001,则误差限可取

    ε[In(f)]=(ba)ε,ε=max{|e[f(xk)]|}

    可以认为,此时牛顿-柯特斯公式是「稳定」的。

  2. 柯特斯系数 Ck(n) 有正有负,此时 k=0n|Ck(n)| 可能很大,故计算 f(xk) 时产生的微小扰动可能会被成倍放大,导致结果不精确。

QUOTE

根据柯特斯系数表n<8 时公式都是稳定的;

收敛阶

收敛阶 O(hp)

表示误差随「步长 h 的减小」而减小的速度。

若求积公式 F 的余项 R(F) 满足

limh0|R(F)|hp=C0

其中 h 是子区间长度,则称公式 F 是「p 阶收敛」的,其收敛阶记作 O(hp)

QUOTE

收敛阶越高,误差下降越快,精度提升越快。

典型复合求积公式的收敛阶

公式收敛阶
梯形公式O(h2)
辛普森公式O(h4)
柯特斯公式[2]O(h6)

推论

插值型积分公式 F收敛阶O(hm),则 F代数精度至少为 m001

这是因为 F 的余项 R(F)=00I00F 是至少 m 次的多项式。当 Im001 次内多项式的积分时,余项 R(F) 必为 0,也就是 F 能实现对 m001 次内多项式的精准积分。


  1. 带权积分中值定理:设 f(x),00g(x)[a,00b] 上连续,且 g(x)0,不恒为零,则存在 η(a,00b),使得 abf(x)g(x)dx=00f(η)abg(x)dx↩︎

  2. 柯特斯公式:n=004牛顿-柯特斯公式↩︎