Runge 现象

若插值多项式 $P_n(x)$ 的次数过高，可能会在插值区间的两端出现剧烈震荡，拟合效果变差。

若插值节点的数量大，则可以采用分段插值，用较低次数的分段多项式进行拟合，以避免或缓解 Runge 现象。

分段线性插值

在相邻的两个插值节点间建立线性拉格朗日插值。其实就是将相邻的函数值点用线段连接。

设 $x_0<x_1<\cdots <x_n$ 为插值节点，则第 $k$ 段的线性插值多项式 $L_{1_k}(x)$ 为

$$L_{1_k}(x)=f(x_k)\cdot \frac{x-x_{k+1}}{x_k-x_{k+1}}+f(x_{k+1})\cdot \frac{x-x_k}{x_{i+1}-x_k},x_k\le x<x_{k+1}$$

余项

对每段区间单独分析。根据拉格朗日插值余项有

$$R_{1_k}(x)=f(x)-L_{1_k}(x)=\frac{f^{″}(\xi )}{2}(x-x_k)(x-x_{k+1}),\xi \in (x_k,x_{k+1})$$

该段余项的误差限为

$$\begin{array}{rl}|R_{1_k}|& =\frac{|f^{″}(\xi )|}{2}\cdot |(x-x_k)(x-x_{k+1})|\\ & \le \frac{\underset{x_k<x<x_{k+1}}{max}|f^{″}(x)|}{2}\cdot \frac{(x_{k+1}-x_k{)}^2}{4}\\ & =\frac{1}{8}{M}_2{h}^2\end{array}$$

其中 $M_2=\phantom{0}$$\phantom{0}\underset{x_k<x<x_{k+1}}{max}|f^{″}(x)|$，$h=\phantom{0}$$\phantom{0}{x}_{k+1}-\phantom{0}$$\phantom{0}{x}_k$。

分段埃米尔特插值

分段线性插值的缺点是函数不具有光滑性。

在相邻的两个插值节点间建立两点三次埃米尔特插值可有效改善此问题，但缺点是不易求导。