避免小分母

分母过小会造成浮点溢出，精度丢失。

避免相近两数相减

相近两数之差的精度远小于此两数。

EXAMPLE

设 $a=\phantom{0}$$\phantom{0}0.12345$，$b=\phantom{0}$$\phantom{0}0.12346$，各有 $5$ 位有效数字；而 $a-\phantom{0}$$\phantom{0}b=\phantom{0}$$\phantom{0}0.00001$，只剩下 $1$ 位有效数字。

经验性避免方法：

1. $\sqrt{x+\epsilon }-\phantom{0}$$\phantom{0}\sqrt{x}=\phantom{0}$$\phantom{0}{\displaystyle \frac{\epsilon }{\sqrt{x+\epsilon }+\sqrt{x}}}$；
2. $\ln (x+\phantom{0}$$\phantom{0}\epsilon )-\phantom{0}$$\phantom{0}\ln (x)=\phantom{0}$$\phantom{0}\ln (1+{\displaystyle \frac{\epsilon }{x}})$；
3. 当 $|x|$ 远小于 $1$ 时，$1-\phantom{0}$$\phantom{0}\cos x=\phantom{0}$$\phantom{0}2{\sin }^2{\displaystyle \frac{x}{2}}$；
4. 当 $|x|$ 远小于 $1$ 时，${\mathrm{e}}^x-\phantom{0}$$\phantom{0}1=\phantom{0}$$\phantom{0}x+\phantom{0}$$\phantom{0}{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+\phantom{0}$$\phantom{0}{\displaystyle \frac{1}{6}}{x}^3+\phantom{0}$$\phantom{0}\cdots$。

避免大数吃小数

精度差距太大的两数进行运算时，小数会被舍弃。

EXAMPLE

设 $a=\phantom{0}$$\phantom{0}1\times {10}^{16}$，$b=\phantom{0}$$\phantom{0}1$，在 IEEE 754 标准下计算 $a+\phantom{0}$$\phantom{0}b$ 时，在对阶过程中 $b$ 的尾数被化成 $0$，导致 $b$ 被 $a$「吃掉」。

减少运算次数

经验性避免方法：

1. 快速幂；

   EXAMPLE

   $$2^{12}={\left(2^6\right)}^2={\left({\left(2^3\right)}^2\right)}^2={\left({(2\times 2^2)}^2\right)}^2$$

   $12$ 次运算 $\to$ $4$ 次运算。

2. 多项式秦九韶算法。

   EXAMPLE

   $$a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots =a_0+x(a_1+x(a_2+x(\cdots )))$$

   $O(n^2)$ 次运算 $\to$ $O(n)$ 次运算。