速度增量法

简介

质量 $m_{1}$ ，速度 $v_{1}$ 的小球与质量 $m_{2}$ ，速度 $v_{2}$ 的小球弹性碰撞，无动能损失，则碰后速度 $v_{1}^{'},$ $v_{2}^{'}$ 满足

\begin{matrix} v_{1} + v_{1}^{'} = 2 v_{共} \\ v_{2} + v_{2}^{'} = 2 v_{共} \\ v_{共} = \frac{m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}}{m_{1} + m_{2}} \end{matrix}

简记为

@LR;
#siz = @plain;
A[@n=" $v_{1}$ ", #siz]
B[@n=" $v_{2}$ ", #siz]
C[@n=" $v_{2}^{'}$ ", #siz]
D[@n=" $v_{1}^{'}$ ", #siz]
O[@n=" $v_{共}$ ", #siz]
A -> O -> C
B -> O -> D

INFO

出现负值表示反向；
若可能存在动能损失，碰后实际速度 $v_{1 实} \in [v_{共},$ $v_{1}^{'}],$ $v_{2 实} \in [v_{共},$ $v_{2}^{'}]$ 。

原理

由动量定理和动能定理得

\begin{matrix} (1) & m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'} \\ (2) & \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{' 2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{' 2} \end{matrix}

由 $(1)$ 得

\begin{matrix} (3) & m_{1} (v_{1} - v_{1}^{'}) = - m_{2} (v_{2} - v_{2}^{'}) \end{matrix}

由 $(2)$ 得

\begin{matrix} m_{1} v_{1}^{2} + m_{2} v_{2}^{2} = m_{1} v_{1}^{' 2} + m_{2} v_{2}^{' 2} \\ m_{1} (v_{1}^{2} - v_{1}^{' 2}) + m_{2} (v_{2}^{2} - v_{2}^{' 2}) = 0 \\ m_{1} (v_{1} - v_{1}^{'}) (v_{1} + v_{1}^{'}) + m_{2} (v_{2} - v_{2}^{'}) (v_{2} + v_{2}^{'}) = 0 \end{matrix}

将 $(3)$ 代入

\begin{array}{r} v_{1} + v_{1}^{'} = v_{2} + v_{2}^{'} \\ (4) & v_{2}^{'} = v_{1} + v_{1}^{'} - v_{2} \end{array}

将 $(4)$ 代入 $(1)$

\begin{matrix} m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} (v_{1} + v_{1}^{'} - v_{2}) \\ (m_{1} + m_{2}) v_{1}^{'} = v_{1} (m_{1} - m_{2}) + 2 m_{2} v_{2} \\ v_{1}^{'} = \frac{v_{1} (m_{1} - m_{2}) + 2 m_{2} v_{2}}{m_{1} + m_{2}} \end{matrix}

同理

v_{2}^{'} = \frac{v_{1} (m_{2} - m_{1}) + 2 m_{1} v_{1}}{m_{1} + m_{2}}

从初态到共速：

\begin{matrix} Δ v_{1} = v_{共} - v_{1} = \frac{m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}}{m_{1} + m_{2}} - v_{1} = \frac{m_{2} (v_{2} - v_{1})}{m_{1} + m_{2}} \\ Δ v_{2} = v_{共} - v_{2} = \frac{m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}}{m_{1} + m_{2}} - v_{2} = \frac{m_{1} (v_{1} - v_{2})}{m_{1} + m_{2}} \end{matrix}

从共速到末态：

\begin{matrix} Δ v_{1}^{'} = v_{1}^{'} - v_{共} = \frac{v_{1} (m_{1} - m_{2}) + 2 m_{2} v_{2}}{m_{1} + m_{2}} - \frac{m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}}{m_{1} + m_{2}} = \frac{m_{2} (v_{2} - v_{1})}{m_{1} + m_{2}} \\ Δ v_{2}^{'} = v_{2}^{'} - v_{共} = \frac{v_{1} (m_{2} - m_{1}) + 2 m_{1} v_{1}}{m_{1} + m_{2}} - \frac{m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}}{m_{1} + m_{2}} = \frac{m_{1} (v_{1} - v_{2})}{m_{1} + m_{2}} \end{matrix}

即

\begin{matrix} Δ v_{1} = Δ v_{1}^{'} \\ Δ v_{2} = Δ v_{2}^{'} \end{matrix}

两阶段速度增量相等。 $v_{共}$ 是两小球的平均速度。

\begin{matrix} v_{1} + v_{1}^{'} = 2 v_{共} \\ v_{2} + v_{2}^{'} = 2 v_{共} \end{matrix}

即证。

例 1

质量为 $m$ ，速度为 $v$ 的 $A$ 球和质量为 $3 m$ 的静止 $B$ 球发生正碰，可能存在动能损失，碰后 $B$ 球的速度大小可能为

A . 0.6 v B . 0.4 v C . 0.3 v D . 0.2 v

解

$v_{共} =$ $\frac{m v + 0}{m + 3 m} =$ $0.25 v$ 。

@LR;
#siz = @plain
A[@n=" $v_{A} =$  $v$ ", #siz]
B[@n=" $v_{B} =$  $0$ ", #siz]
C[@n=" $v_{B}^{'} =$  $0.5 v$ ", #siz]
D[@n=" $v_{A}^{'} =$  $-$  $0.5 v$ ", #siz]
O[@n=" $v_{共} =$  $0.25 v$ ", #siz]
A -> O -> C
B -> O -> D

$v_{B 实} \in [v_{共},$ $v_{B}^{'}] =$ $[0.25 v,$ $0.5 v]$ 。选 $B C$ 。

同余

组合数学

数值分析

多项式

圆锥曲线

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例 1

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原理 ​

例 1 ​

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