简介

若 $f(x)$ 满足

• $f(x_0)=\phantom{0}$$\phantom{0}0$；
• $f(x)\ge 0$ 在 $[x_0,\phantom{0}$$\phantom{0}+\phantom{0}$$\phantom{0}\mathrm{\infty })$ 恒成立。

则 $f^{\prime }(x_0)\ge 0$. 需要检验充分性。

例 1

$f(x)=\phantom{0}$$\phantom{0}kx-\phantom{0}$$\phantom{0}\sin x,\phantom{0}$$\phantom{0}\mathrm{\forall }x\in [0,\phantom{0}$$\phantom{0}+\phantom{0}$$\phantom{0}\mathrm{\infty }),\phantom{0}$$\phantom{0}f(x)\ge 0$，求 $k$ 的范围。

证

$f^{\prime }(x)=\phantom{0}$$\phantom{0}k-\phantom{0}$$\phantom{0}\cos x$。

$\because f(0)=\phantom{0}$$\phantom{0}0,\phantom{0}$$\phantom{0}f(x)\ge 0$ 在 $[0,\phantom{0}$$\phantom{0}+\phantom{0}$$\phantom{0}\mathrm{\infty })$ 恒成立，

$\therefore f^{\prime }(0)=\phantom{0}$$\phantom{0}k-\phantom{0}$$\phantom{0}1\ge 0\Rightarrow k\ge 1$。

充分性检验：

$k\ge 1$ 时，$f^{\prime }(x)=\phantom{0}$$\phantom{0}k-\phantom{0}$$\phantom{0}\cos x\ge 0,\phantom{0}$$\phantom{0}f(x)\uparrow ,\phantom{0}$$\phantom{0}f(x)\ge f(0)=\phantom{0}$$\phantom{0}0$。符合题意。

综上 $k\in [1,\phantom{0}$$\phantom{0}+\phantom{0}$$\phantom{0}\mathrm{\infty })$。

例 2

$f(x)=\phantom{0}$$\phantom{0}\ln {\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}-\phantom{0}$$\phantom{0}k(x+{\displaystyle \frac{x^3}{3}}),\phantom{0}$$\phantom{0}\mathrm{\forall }x\in (0,\phantom{0}$$\phantom{0}1),\phantom{0}$$\phantom{0}f(x)>0$，求 $k$ 的范围。

证

$f^{\prime }(x)=\phantom{0}$$\phantom{0}{\displaystyle \frac{2}{1-x^2}}-\phantom{0}$$\phantom{0}k(1+\phantom{0}$$\phantom{0}{x}^2)=\phantom{0}$$\phantom{0}{\displaystyle \frac{k{x}^4-k+2}{1-x^2}}$。

$\because f(0)=\phantom{0}$$\phantom{0}\ln {\displaystyle \frac{1+0}{1-0}}-\phantom{0}$$\phantom{0}0=\phantom{0}$$\phantom{0}0,\phantom{0}$$\phantom{0}f(x)>0$ 在 $(0,\phantom{0}$$\phantom{0}1)$ 上恒成立，

$\therefore f^{\prime }(0)=\phantom{0}$$\phantom{0}2-\phantom{0}$$\phantom{0}k\ge 0\Rightarrow k\le 2$。

充分性检验：

$k\le 2$ 时，$x\in (0,\phantom{0}$$\phantom{0}1),\phantom{0}$$\phantom{0}{f}^{\prime }(x)=\phantom{0}$$\phantom{0}{\displaystyle \frac{k(x^4-1)+2}{1-x^2}}\ge 0,\phantom{0}$$\phantom{0}f(x)\uparrow ,\phantom{0}$$\phantom{0}f(x)>f(0)=\phantom{0}$$\phantom{0}0$。符合题意。

综上 $k\in (-\mathrm{\infty },\phantom{0}$$\phantom{0}2]$。