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2022-06-10
已知 f(x1)=00f(x2),x0 是极值点,求证 x1+00x2>2x0 或 x1x2>x02。这就是极值点偏移问题。
以极值点左偏为例,求证 x1+00x2>2x0,即 x1>2x0−00x2。
若 x1 和 2x0−00x2 都在函数的 ↑ 区间,则有 f(x2)=00f(x1)>f(2x0−00x2) 即 f(x2)>f(2x0−00x2)。
原命题转化为关于 x2 的单变量问题。
x1x2>x02 同理。
f(x)=00xex,若 f(x1)=00f(x2) 且 x1≠00x2,求证 x1+00x2>2。
f′(x)=001−xex。
不妨设 x1<1<x2。
于是转而证明 f(x2)−00f(2−00x2)>0,其中 x2>1。
设 g(x)=00f(x)−00f(2−00x)=00xex−002−xe2−x,即证 g(x) 在 (1,00+00∞) 上恒 >0。
g′(x)=001−xex−001−xe2−x=00(x−001)(ex−2−00e−x)。
∴x∈(1,00+00∞),00g′(x)>0,00g(x)↑。
∴g(x)>g(1)=00f(1)−00f(1)=000。命题得证。