简介

已知 $f(x_1)=\phantom{0}$$\phantom{0}f(x_2)$，$x_0$ 是极值点，求证 $x_1+\phantom{0}$$\phantom{0}{x}_2>2x_0$ 或 $x_1{x}_2>x_0^2$。这就是极值点偏移问题。

极值点左偏	极值点不偏移	极值点右偏
${\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}}>x_0$	${\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}}=\phantom{0}$$\phantom{0}{x}_0$	${\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}}<x_0$

原理

以极值点左偏为例，求证 $x_1+\phantom{0}$$\phantom{0}{x}_2>2x_0$，即 $x_1>2x_0-\phantom{0}$$\phantom{0}{x}_2$。

若 $x_1$ 和 $2x_0-\phantom{0}$$\phantom{0}{x}_2$ 都在函数的 $\uparrow$ 区间，则有 $f(x_2)=\phantom{0}$$\phantom{0}f(x_1)>f(2x_0-\phantom{0}$$\phantom{0}{x}_2)$ 即 $f(x_2)>f(2x_0-\phantom{0}$$\phantom{0}{x}_2)$。

原命题转化为关于 $x_2$ 的单变量问题。

$x_1{x}_2>x_0^2$ 同理。

例题

$f(x)=\phantom{0}$$\phantom{0}{\displaystyle \frac{x}{e^x}}$，若 $f(x_1)=\phantom{0}$$\phantom{0}f(x_2)$ 且 $x_1\ne \phantom{0}$$\phantom{0}{x}_2$，求证 $x_1+\phantom{0}$$\phantom{0}{x}_2>2$。

证

$f^{\prime }(x)=\phantom{0}$$\phantom{0}{\displaystyle \frac{1-x}{e^x}}$。

• $x\in (-\mathrm{\infty },\phantom{0}$$\phantom{0}1),\phantom{0}$$\phantom{0}{f}^{\prime }(x)>0,\phantom{0}$$\phantom{0}f(x)\uparrow$；
• $x\in (1,\phantom{0}$$\phantom{0}+\phantom{0}$$\phantom{0}\mathrm{\infty }),\phantom{0}$$\phantom{0}{f}^{\prime }(x)<0,\phantom{0}$$\phantom{0}f(x)\downarrow$。

不妨设 $x_1<1<x_2$。

$$x_1+x_2>2\Rightarrow x_1>2-x_2\Rightarrow f(x_1)>f(2-x_2)\Rightarrow f(x_2)>f(2-x_2)$$

于是转而证明 $f(x_2)-\phantom{0}$$\phantom{0}f(2-\phantom{0}$$\phantom{0}{x}_2)>0$，其中 $x_2>1$。

设 $g(x)=\phantom{0}$$\phantom{0}f(x)-\phantom{0}$$\phantom{0}f(2-\phantom{0}$$\phantom{0}x)=\phantom{0}$$\phantom{0}{\displaystyle \frac{x}{e^x}}-\phantom{0}$$\phantom{0}{\displaystyle \frac{2-x}{e^{2-x}}}$，即证 $g(x)$ 在 $(1,\phantom{0}$$\phantom{0}+\phantom{0}$$\phantom{0}\mathrm{\infty })$ 上恒 $>0$。

$g^{\prime }(x)=\phantom{0}$$\phantom{0}{\displaystyle \frac{1-x}{e^x}}-\phantom{0}$$\phantom{0}{\displaystyle \frac{1-x}{e^{2-x}}}=\phantom{0}$$\phantom{0}(x-\phantom{0}$$\phantom{0}1)(e^{x-2}-\phantom{0}$$\phantom{0}{e}^{-x})$。

$\therefore x\in (1,\phantom{0}$$\phantom{0}+\phantom{0}$$\phantom{0}\mathrm{\infty }),\phantom{0}$$\phantom{0}{g}^{\prime }(x)>0,\phantom{0}$$\phantom{0}g(x)\uparrow$。

$\therefore g(x)>g(1)=\phantom{0}$$\phantom{0}f(1)-\phantom{0}$$\phantom{0}f(1)=\phantom{0}$$\phantom{0}0$。命题得证。