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立体几何

2023-02-18

常用的立体几何结论。

基本公式

体积表面积
柱体V=ShS=2πr(r+l)
锥体V=13ShS=πr(r+l)
台体V=13(S1+S2+S1S2)hS=π[r2+R2+l(r+R)]

法向量

交点倒数法

平面过 (a,0,0),(0,b,0),(0,0,c),则法向量为 (1a,1b,1c)

平面平行于 x 轴,且过 (0,b,0),(0,0,c),则法向量为 (0,1b,1c)

TIP

坐标系可应用平移变换。

捺撇法

PA=(x1,y1,z1),PB=(x2,y2,z2),平面 PAB 法向量表示为:

(y1z2z1y2,z1x2x1z2,x1y2y1x2)
TIP
  1. 向量并排写两遍
  2. 掐头去尾取中间
  3. 交叉相乘再相减

三垂线定理

mαnα 上的投影为 n

mnmn
TIP

垂影必垂斜,垂斜必垂影。

三余弦定理

OHOA 在平面 BOC 上的投影。

cosAOC=cosAOBcosBOC

三正弦定理

α 是二面角。

sinβ=sinγsinα

四面体体积公式

V=23SΔABDSΔABCsinθAB
V=SΔABCDO3=SΔABCDEsinθ3=SΔABCDEABsinθ3AB=2SΔABCSΔABDsinθ3AB

空间正弦定理

aSAsinA=bSBsinB=cSCsinC

SA=SΔDBC,A 为二面角 CDAB,以此类推。

证明

四面体体积公式

V=2SASBsinC3c=2SBSCsinA3a=2SASCsinB3b

上下分别同乘 SC,SA,SB

2SASBSCsinC3cSC=2SASBSCsinA3aSA=2SASBSCsinB3bSB

约去 2SASBSC3

sinCcSC=sinAaSA=sinBbSB

取倒数

aSAsinA=bSBsinB=cSCsinC

祖暅原理

QUOTE

幂势既同,则积不容异。

两几何体在任意高处的截面都相等,则其体积也相等。

h,S1(h)=S2(h)V1=V2

可以用微积分直观理解。

V=S(h)dh