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平面几何

2023-02-21

常用的平面几何结论。

距离公式

(x1,y1)(x2,y2) 距离公式

d=(x1x2)2+(y1y2)2

(x0,y0)Ax+By+C=0 距离公式

d=|Ax0+By0+C|A2+B2

Ax+By+C1=0Ax+By+C2=0 距离公式

d=|C1C2|A2+B2

切线公式

切线长公式

A(x0,y0) 作圆 (xa)2+(yb)2=r2 的一条切线,切点为 B,切线长为

AB=(x0a)2+(y0b)2r2

切线 / 切点弦方程

过圆 (xa)2+(yb)2=r2 上一点 P(x0,y0) 的切线方程为

l:(x0a)(xa)+(y0b)(yb)=r2

过椭圆(双曲线)x2a2±y2b2=1 上一点 P(x0,y0) 的切线方程为

l:x0xa2±y0yb2=1

过抛物线 y2=2px 上一点 P(x0,y0) 的切线方程为

l:y0y=p(x0+x)

P 不在对应曲线上时,l 表示切点弦方程。

公共弦方程

x2+y2+A1x+B1y+C1=0x2+y2+A2x+B2y+C2=0 的公共弦方程为

l:(A1A2)x+(B1B2)y+(C1C2)=0

焦半径公式

坐标式

PF1=a+ex0,PF2=aex0

PF1=ex0+a,PF2=ex0a
证明

由勾股定理得

x12(x0+c)2=x22(x0c)2x12x22=(x0+c)2(x0c)22a(x1x2)=4cx0x1x2=2ex0

x1+x2=2a

x1=a+ex0,x2=aex0

双曲线同理。

夹角式

PF=b2accosθ=b2a1ecosθ
证明

由余弦定理得

r2+(2c)22r2ccosθ=(2ar)2c2crcosθ=a2arr=b2accosθ

双曲线同理。

焦点三角形面积

椭圆 x2a2+y2b2=1 焦点为 F1,F2,其上有一点 P。焦点三角形面积为

SΔPF1F2=b2tanP2

对于双曲线 x2a2y2b2=1,则为

SΔPF1F2=b2tanP2
证明

PF1=m,PF2=n,则 m+n=2a

ΔPF1F2 中,根据余弦定理

m2+n22mncosP=|F1F2|2 (m+n)22mn(1+cosP)=4c2 mn=2b21+cosPSΔPF1F2=12mnsinP=b2sinP1+cosP=b2tanP2

双曲线同理。

离心率

渐近线倾斜角公式

e=1|cosθ|=1+tan2θ

正弦比值公式

e=2c2a=F1F2PF1+PF2=sinθsinα+sinβ

e=2c2a=F1F2|PF1PF2|=sinθ|sinαsinβ|

焦比弦公式

|ecosθ|=|λ1λ+1|

其中 AF=λBF

证明

焦半径公式 - 夹角式

AF=b2a1ecosθ,BF=b2a1+ecosθλ=AFBF=1+ecosθ1ecosθecosθ=λ1λ+1

最大张角公式

椭圆 C:x2a2+y2b2=1 上存在一点 P 满足 F1PF2=θ,则离心率 e 满足

cosθ12e2
证明

P 为上顶点时为临界情况。

sinθ2=ca=ee2=sin2θ2=1cosθ2cosθ=12e2