距离公式

$(x_1,y_1)$ 到 $(x_2,y_2)$ 距离公式

$$d=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$$

$(x_0,y_0)$ 到 $Ax+By+C=0$ 距离公式

$$d={\displaystyle \frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}}$$

$Ax+By+C_1=0$ 到 $Ax+By+C_2=0$ 距离公式

$$d={\displaystyle \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}}$$

切线公式

切线长公式

过 $A(x_0,y_0)$ 作圆 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 的一条切线，切点为 $B$，切线长为

$$AB=\sqrt{(x_0-a{)}^2+(y_0-b{)}^2-r^2}$$

切线 / 切点弦方程

过圆 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 上一点 $P(x_0,y_0)$ 的切线方程为

$$l:(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$$

过椭圆（双曲线）${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}\pm {\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$ 上一点 $P(x_0,y_0)$ 的切线方程为

$$l:{\displaystyle \frac{x_0\cdot x}{a^2}}\pm {\displaystyle \frac{y_0\cdot y}{b^2}}=1$$

过抛物线 $y^2=2px$ 上一点 $P(x_0,y_0)$ 的切线方程为

$$l:y_0\cdot y=p(x_0+x)$$

当 $P$ 不在对应曲线上时，$l$ 表示切点弦方程。

公共弦方程

圆 $x^2+y^2+A_{1}x+B_{1}y+C_1=0$ 和 $x^2+y^2+A_{2}x+B_{2}y+C_2=0$ 的公共弦方程为

$$l:(A_1-A_2)x+(B_1-B_2)y+(C_1-C_2)=0$$

焦半径公式

坐标式

$$P{F}_1=a+e{x}_0,P{F}_2=a-e{x}_0$$

$$P{F}_1=\parallel e{x}_0+a\parallel ,P{F}_2=\parallel e{x}_0-a\parallel$$

证明

由勾股定理得

$$x_1^2-(x_0+c{)}^2=x_2^2-(x_0-c{)}^2$$$$x_1^2-x_2^2=(x_0+c{)}^2-(x_0-c{)}^2$$$$2a(x_1-x_2)=4c{x}_0$$$$x_1-x_2=2e{x}_0$$

由 $x_1+x_2=2a$ 得

$$x_1=a+e{x}_0,x_2=a-e{x}_0$$

双曲线同理。

夹角式

$$PF={\displaystyle \frac{b^2}{a-c\cos \theta }}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{b^2}{a}}}{1-e\cos \theta }}$$

证明

由余弦定理得

$$r^2+(2c{)}^2-2\cdot r\cdot 2c\cos \theta =(2a-r{)}^2$$$$c^2-cr\cos \theta =a^2-ar$$$$r={\displaystyle \frac{b^2}{a-c\cos \theta }}$$

双曲线同理。

焦点三角形面积

椭圆 ${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$ 焦点为 $F_1,F_2$，其上有一点 $P$。焦点三角形面积为

$$S_{\mathrm{\Delta }P{F}_1{F}_2}=b^2\tan {\displaystyle \frac{P}{2}}$$

对于双曲线 ${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$，则为

$$S_{\mathrm{\Delta }P{F}_1{F}_2}={\displaystyle \frac{b^2}{\tan {\displaystyle \frac{P}{2}}}}$$

证明

记 $P{F}_1=m,P{F}_2=n$，则 $m+n=2a$。

在 $\mathrm{\Delta }P{F}_1{F}_2$ 中，根据余弦定理

$$\begin{array}{rl}& m^2+n^2-2mn\cos P=|F_1{F}_2{|}^2\\ \Rightarrow & (m+n{)}^2-2mn(1+\cos P)=4c^2\\ \Rightarrow & mn={\displaystyle \frac{2b^2}{1+\cos P}}\end{array}$$$$S_{\mathrm{\Delta }P{F}_1{F}_2}={\displaystyle \frac{1}{2}}mn\sin P=b^2{\displaystyle \frac{\sin P}{1+\cos P}}=b^2\tan {\displaystyle \frac{P}{2}}$$

双曲线同理。

离心率

渐近线倾斜角公式

$$e={\displaystyle \frac{1}{|\cos \theta |}}=\sqrt{1+{\tan }^2\theta }$$

正弦比值公式

$$e={\displaystyle \frac{2c}{2a}}={\displaystyle \frac{F_1{F}_2}{P{F}_1+P{F}_2}}={\displaystyle \frac{\sin \theta }{\sin \alpha +\sin \beta }}$$

$$e={\displaystyle \frac{2c}{2a}}={\displaystyle \frac{F_1{F}_2}{|P{F}_1-P{F}_2|}}={\displaystyle \frac{\sin \theta }{|\sin \alpha -\sin \beta |}}$$

焦比弦公式

$$|e\cos \theta |=\left|{\displaystyle \frac{\lambda -1}{\lambda +1}}\right|$$

其中 $AF=\lambda BF$。

证明

由 焦半径公式 - 夹角式 知

$$AF={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{b^2}{a}}}{1-e\cos \theta }},BF={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{b^2}{a}}}{1+e\cos \theta }}$$$$\lambda ={\displaystyle \frac{AF}{BF}}={\displaystyle \frac{1+e\cos \theta }{1-e\cos \theta }}$$$$e\cos \theta ={\displaystyle \frac{\lambda -1}{\lambda +1}}$$

最大张角公式

椭圆 $C:{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$ 上存在一点 $P$ 满足 $\mathrm{\angle }{F}_{1}P{F}_2=\theta$，则离心率 $e$ 满足

$$\cos \theta \ge 1-2e^2$$

证明

当 $P$ 为上顶点时为临界情况。

$$\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}={\displaystyle \frac{c}{a}}=e$$$$e^2={\sin }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}={\displaystyle \frac{1-\cos \theta }{2}}$$$$\cos \theta =1-2e^2$$