定义

极点和极线是双映射关系。

对椭圆 ${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$，任意一点 $P(x_0,y_0)$ 对应的极线为 $l:{\displaystyle \frac{x_{0}x}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_{0}y}{b^2}}=1$。同理，任意直线 $l$ 对应的极点为 $P$。

当极点 $P$ 位于不同的空间位置时，极线 $l$ 的几何意义有所区别。

P 在椭圆上

极线 $l$ 为切线。

证

$\because {\displaystyle \frac{x_0^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_0^2}{b^2}}=1,\therefore l$ 过点 $P$。

对于椭圆上任意非 $P$ 点 $(x_0^{\prime },y_0^{\prime })$ 有

$${\displaystyle \frac{x_0^{\prime 2}}{a_2}}+{\displaystyle \frac{y_0^{\prime 2}}{b^2}}=1\ne {\displaystyle \frac{x_0{x}_0^{\prime }}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_0{y}_0^{\prime }}{b^2}}$$

即 $l$ 上有且仅有一点 $P$ 在椭圆上。$l$ 为切线。

P 在椭圆外

极线 $l$ 为切点弦。

证

设 $AB$ 为切点弦。下证 $A,B$ 在 $l$ 上。

由 $P$ 在椭圆上 得

$$PA:{\displaystyle \frac{x_{1}x}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_{1}y}{b^2}}=1,PB:{\displaystyle \frac{x_{2}x}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_{2}y}{b^2}}=1$$

将 $P(x_0,y_0)$ 分别代入

$$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x_1{x}_0}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_1{y}_0}{b^2}}=1\\ {\displaystyle \frac{x_2{x}_0}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_2{y}_0}{b^2}}=1\end{array}$$

即 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 是方程 ${\displaystyle \frac{x_{0}x}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_{0}y}{b^2}}=1$ 的两解，即证 $A,B$ 在 $l$ 上。

P 在椭圆内

过极线 $l$ 上任意点 $Q$ 所作的切点弦必过点 $P$。

证

由 $P$ 在椭圆外 得

$$AB:{\displaystyle \frac{x_{1}x}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_{1}y}{b^2}}=1$$

将 $P(x_0,y_0)$ 代入

$${\displaystyle \frac{x_1{x}_0}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_1{y}_0}{b^2}}=1$$

即 $(x_1,y_1)$ 是方程 ${\displaystyle \frac{x_{0}x}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_{0}y}{b^2}}=1$ 的一个解，即证 $Q$ 在 $l$ 上。

互极性

若 $P$ 的极线过 $Q$，则 $Q$ 的极也过 $P$。此时 $P,Q$ 互极。

本质是表达式

$${\displaystyle \frac{x_P{x}_Q}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_P{y}_Q}{b^2}}=1$$

可同时认为是由「将 $Q$ 代入 $P$ 的极线」或「将 $P$ 代入 $Q$ 的极线」产生。

推广

对于双曲线 ${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$ 和极点 $P(x_0,y_0)$，极线方程为 ${\displaystyle \frac{x_{0}x}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y_{0}y}{b^2}}=1$。

对于抛物线 $y^2=2px$ 和极点 $P(x_0,y_0)$，极线方程为 $y_{0}y=p(x_0+x)$。

容易看出，对于一般二次曲线 $A{x}^2+B{y}^2+Cxy+Dx+Ey+F=0$ 和极点 $P(x_0,y_0)$，极线方程为

$$A{x}_{0}x+B{y}_{0}y+C{\displaystyle \frac{x_{0}y+x{y}_0}{2}}+D{\displaystyle \frac{x_0+x}{2}}+E{\displaystyle \frac{y_0+y}{2}}+F=0$$

INFO

我有一个绝妙的证明，可惜这里已经写不下了。

类似结论

用到了极点极线构造过程中的思想。

中点弦

以定点 $M$ 为中点的弦 $l$ 的方程为

$$l:{\displaystyle \frac{x_{0}x}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_{0}y}{b^2}}={\displaystyle \frac{x_0^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_0^2}{b^2}}$$

证

$M({\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}},{\displaystyle \frac{y_1+y_2}{2}})$.

联立

$$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x_1^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_1^2}{b^2}}=1\\ {\displaystyle \frac{x_2^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_2^2}{b^2}}=1\end{array}$$

得

$${\displaystyle \frac{x_1^2-x_2^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_1^2-y_2^2}{b^2}}=0$$$${\displaystyle \frac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{a^2}}+{\displaystyle \frac{(y_1+y_2)(y_1-y_2)}{b^2}}=0$$$${\displaystyle \frac{2x_0\mathrm{\Delta }x}{a^2}}+{\displaystyle \frac{2y_0\mathrm{\Delta }y}{b^2}}=0$$$$k={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}=-{\displaystyle \frac{x_0{b}^2}{y_0{a}^2}}$$$$AB:y-y_0=k(x-x_0)\Rightarrow {\displaystyle \frac{x_{0}x}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_{0}y}{b^2}}={\displaystyle \frac{x_0^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_0^2}{b^2}}$$

弦中点

$l$ 过定点 $P$，弦 $l$ 的中点 $M$ 的轨迹方程为

$M:{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}={\displaystyle \frac{x_{0}x}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_{0}y}{b^2}}$

证

由 中点弦 得

$$l:{\displaystyle \frac{x_{1}x}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_{1}y}{b^2}}={\displaystyle \frac{x_1^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_1^2}{b^2}}$$

由 $l$ 过点 $P(x_0,y_0)$，代入 $P$ 得

$$l:{\displaystyle \frac{x_1{x}_0}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_1{y}_0}{b^2}}={\displaystyle \frac{x_1^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_1^2}{b^2}}$$

即认为对于 $M(x,y)$，始终有

$${\displaystyle \frac{x\cdot x_0}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y\cdot y_0}{b^2}}={\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}$$

成立。即证。