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极点极线方程

2023-03-06

需要出神入化的同构技巧。

定义

极点和极线是双映射关系。

对椭圆 x2a2+y2b2=1,任意一点 P(x0,y0) 对应的极线为 l:x0xa2+y0yb2=1。同理,任意直线 l 对应的极点为 P

当极点 P 位于不同的空间位置时,极线 l 的几何意义有所区别。

P 在椭圆上

极线 l 为切线。

x02a2+y02b2=1,l 过点 P

对于椭圆上任意非 P(x0,y0)

x02a2+y02b2=1x0x0a2+y0y0b2

l 上有且仅有一点 P 在椭圆上。l 为切线。

P 在椭圆外

极线 l 为切点弦。

AB 为切点弦。下证 A,Bl 上。

P 在椭圆上

PA:x1xa2+y1yb2=1,PB:x2xa2+y2yb2=1

P(x0,y0) 分别代入

{x1x0a2+y1y0b2=1x2x0a2+y2y0b2=1

(x1,y1),(x2,y2) 是方程 x0xa2+y0yb2=1 的两解,即证 A,Bl 上。

P 在椭圆内

过极线 l 上任意点 Q 所作的切点弦必过点 P

P 在椭圆外

AB:x1xa2+y1yb2=1

P(x0,y0) 代入

x1x0a2+y1y0b2=1

(x1,y1) 是方程 x0xa2+y0yb2=1 的一个解,即证 Ql 上。

互极性

P 的极线过 Q,则 Q 的极也过 P。此时 P,Q 互极。

本质是表达式

xPxQa2+yPyQb2=1

可同时认为是由「将 Q 代入 P 的极线」或「将 P 代入 Q 的极线」产生。

推广

对于双曲线 x2a2y2b2=1 和极点 P(x0,y0),极线方程为 x0xa2y0yb2=1

对于抛物线 y2=2px 和极点 P(x0,y0),极线方程为 y0y=p(x0+x)

容易看出,对于一般二次曲线 Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0 和极点 P(x0,y0),极线方程为

Ax0x+By0y+Cx0y+xy02+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0
INFO

我有一个绝妙的证明,可惜这里已经写不下了。

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类似结论

用到了极点极线构造过程中的思想。

中点弦

以定点 M 为中点的弦 l 的方程为

l:x0xa2+y0yb2=x02a2+y02b2

M(x1+x22,y1+y22).

联立

{x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1

x12x22a2+y12y22b2=0(x1+x2)(x1x2)a2+(y1+y2)(y1y2)b2=02x0Δxa2+2y0Δyb2=0k=ΔyΔx=x0b2y0a2AB:yy0=k(xx0)x0xa2+y0yb2=x02a2+y02b2

弦中点

l 过定点 P,弦 l 的中点 M 的轨迹方程为

M:x2a2+y2b2=x0xa2+y0yb2

中点弦

l:x1xa2+y1yb2=x12a2+y12b2

l 过点 P(x0,y0),代入 P

l:x1x0a2+y1y0b2=x12a2+y12b2

即认为对于 M(x,y),始终有

xx0a2+yy0b2=x2a2+y2b2

成立。即证。