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2022-05-25
若圆锥曲线题围绕某特殊点展开,可将坐标系原点平移至此点,减小计算量。
已知椭圆 E:x24+y23=1,过 P(2,1) 的直线 l 与椭圆 E 交于 A,B 且 OP→2=4PA→⋅PB→,求 l 的方程。
联立 {y=k(x−2)+1x24+y23=1 得
Δ=[−8k(2k−1)]2−4(3+4k2)(16k2−16k−8)>0
∴32(6k+3)>0,k>−12
x1+x2=8k(2k−1)3+4k2,x1x2=16k2−16k−83+k2
∵OP→2=4PA→⋅PB→
∴(x1−2,y1−1)⋅(x2−2,y2−1)=54
∴[x1x2−2(x1+x2)+4](1+k2)=54
∴[16k2−16k−83+4k2−28k(2k−1)3+4k2+4](1+k2)=4+4k23+4k2=54
解得 k=±12,k=−12 不合题意,舍去。
∴l:y=12x。
将坐标系原点平移至 P(2,1)。为了区分坐标系,令 λ=x−2,μ=y−1。新坐标系中 A(λ1,μ1),B(λ2,μ2)。
设 l:μ=kλ。于是 PA→⋅PB→=(k2+1)λ1λ2=54。
联立 {μ=kλ(λ+2)24+(μ+1)23=1 得
Δ=192k+96>0,∴k>−12。
λ1λ2=44k2+3
代入得 (k2+1)44k2+3=54,解得 k=12。∴y=12x。
已知双曲线 C:x2−y216=1。T 在直线 x=12 上。过 T 的两条直线分别交 C 的右支于 A,B 和 P,Q。若 |TA|⋅|TB|=|TP|⋅|TQ|,求 kAB+kPQ。
设 T(12,t)。将坐标系原点平移至 T。令 λ=x−12,μ=y−t。
设 AB:μ=k1λ,PQ:μ=k2λ。
∵|TA|⋅|TB|=|TP|⋅|TQ|
∴(λA2+μA2)(λB2+μB2)=(λP2+μP2)(λQ2+μQ2)
∴(k12+1)2(λAλB)2=(k22+1)2(λPλQ)2
联立 {μ=kλ(λ+12)2−(μ+t)216=1 得
Δ>0 解得 k<4。
λ1λ2=−t2−1216−k2,即 λAλB=−t2−1216−k12,λPλQ=−t2−1216−k22
代入得 k12+116−k12=k22+116−k22。设左边表达式 =s,∴k1,k2 是 f(x)=k2+116−k2=s 的两根。
∵f(−x)=f(x),且 f(x)=s 仅有两根,∴(k1,s),(k2,s) 关于 y 轴对称。
∴kAB+kPQ=k1+k2=0。