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坐标系平移法

2022-05-25

简介

若圆锥曲线题围绕某特殊点展开,可将坐标系原点平移至此点,减小计算量。

例 1

已知椭圆 E:x24+y23=1,过 P(2,1) 的直线 l 与椭圆 E 交于 A,BOP2=4PAPB,求 l 的方程。

标答

联立 {y=k(x2)+1x24+y23=1

(3+4k2)x28k(2k1)x+16k216k8=0

Δ=[8k(2k1)]24(3+4k2)(16k216k8)>0

32(6k+3)>0,k>12

x1+x2=8k(2k1)3+4k2,x1x2=16k216k83+k2

OP2=4PAPB

(x12,y11)(x22,y21)=54

[x1x22(x1+x2)+4](1+k2)=54

[16k216k83+4k228k(2k1)3+4k2+4](1+k2)=4+4k23+4k2=54

解得 k=±12,k=12 不合题意,舍去。

l:y=12x

快速解法

将坐标系原点平移至 P(2,1)。为了区分坐标系,令 λ=x2,μ=y1。新坐标系中 A(λ1,μ1),B(λ2,μ2)

l:μ=kλ。于是 PAPB=(k2+1)λ1λ2=54

联立 {μ=kλ(λ+2)24+(μ+1)23=1

(4k2+3)λ2+(12+8k)λ+4=0

Δ=192k+96>0,k>12

λ1λ2=44k2+3

代入得 (k2+1)44k2+3=54,解得 k=12y=12x

例 2

已知双曲线 C:x2y216=1T 在直线 x=12 上。过 T 的两条直线分别交 C 的右支于 A,BP,Q。若 |TA||TB|=|TP||TQ|,求 kAB+kPQ

快速解法

T(12,t)。将坐标系原点平移至 T。令 λ=x12,μ=yt

AB:μ=k1λ,PQ:μ=k2λ

|TA||TB|=|TP||TQ|

(λA2+μA2)(λB2+μB2)=(λP2+μP2)(λQ2+μQ2)

(k12+1)2(λAλB)2=(k22+1)2(λPλQ)2

联立 {μ=kλ(λ+12)2(μ+t)216=1

(16k2)λ2+(162kt)λt212=0

Δ>0 解得 k<4

λ1λ2=t21216k2,即 λAλB=t21216k12,λPλQ=t21216k22

代入得 k12+116k12=k22+116k22。设左边表达式 =s,k1,k2f(x)=k2+116k2=s 的两根。

f(x)=f(x),且 f(x)=s 仅有两根,(k1,s),(k2,s) 关于 y 轴对称。

kAB+kPQ=k1+k2=0