定义

对椭圆 ${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$，若 $x$ 轴的点 $M,N$ 满足 $x_M\cdot x_N=a^2$，则 $M,N$ 互为伴侣点。

TIP

若 $M,N$ 在 $y$ 轴，则应满足 $y_M\cdot y_N=b^2$。

性质

等角性

过其中任意一个伴侣点作弦 $CD$，均可产生等角。

$M,N$ 为伴侣点 $\Rightarrow k_{CN}+k_{DN}=0$	$M,N$ 为伴侣点 $\Rightarrow k_{CM}+k_{DM}=0$

证明：设 $CD$ 斜率为 $k$，暴力计算求证。

互极性

由 极点极线方程 知识易得 $M,N$ 互极。

$${\displaystyle \frac{x_M{x}_N}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_M{y}_N}{b^2}}={\displaystyle \frac{a^2}{a^2}}=1$$

其它性质

椭圆 ${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$，$E(-m,0),F(m,0),Q({\displaystyle \frac{a^2}{m}},0)$。

• $y_M\cdot y_N=b^2(1-{\displaystyle \frac{a^2}{m^2}})$
• $k_{BM}\cdot k_{BN}={\displaystyle \frac{m-a}{m+a}}(e^2-1)$
• $k_{EM}\cdot k_{FN}={\displaystyle \frac{-b^2}{m^2+a^2}}$
• $\overrightarrow{EM}\cdot \overrightarrow{FN}={\displaystyle \frac{(a^2-m^2)(a^2+m^2-b^2)}{m^2}}$
• $\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{FN}={\displaystyle \frac{(a^2-m^2)(a^2-m^2+b^2)}{m^2}}$
• $\overrightarrow{AN}\cdot \overrightarrow{BM}={\displaystyle \frac{(a^2-m^2)(a^2-b^2)}{m^2}}$
• $\overrightarrow{FN}\cdot \overrightarrow{BM}={\displaystyle \frac{(a^2-m^2)(a^2+am-b^2)}{m^2}}$

统一的证明方法：设 $P$ 坐标，暴力计算求证。

TIP

明白是定值就够了。

推广

对于双曲线 ${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$，$M,N$ 为伴侣点 $\Rightarrow x_M\cdot x_N=a^2$。

对于抛物线 $y^2=2px$，$M,N$ 为伴侣点 $\Rightarrow x_M+x_N=0$。