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需要 极点极线方程 的相关知识。

定义

圆锥曲线任意内接四边形 $ABCD$，其边交点 $M,N$ 和对角线交点 $P$ 构成自极三角形。

• $MN$ 是 $P$ 的极线；
• $MP$ 是 $N$ 的极线；
• $NP$ 是 $M$ 的极线。

证明

引理

Ceva 定理

$\mathrm{\Delta }ABC$ 中，$AD,BE,CF$ 共点 $O$。

$${\displaystyle \frac{BD}{DC}}\cdot {\displaystyle \frac{CE}{EA}}\cdot {\displaystyle \frac{AF}{FB}}=1$$

证

$${\displaystyle \frac{BD}{DC}}={\displaystyle \frac{S_{\mathrm{\Delta }AOB}}{S_{\mathrm{\Delta }AOC}}},{\displaystyle \frac{CE}{CA}}={\displaystyle \frac{S_{\mathrm{\Delta }BOC}}{S_{\mathrm{\Delta }AOB}}},{\displaystyle \frac{AF}{FB}}={\displaystyle \frac{S_{\mathrm{\Delta }AOC}}{S_{\mathrm{\Delta }BOC}}}$$

代入即得

$${\displaystyle \frac{BD}{DC}}\cdot {\displaystyle \frac{CE}{EA}}\cdot {\displaystyle \frac{AF}{FB}}=1$$

Ceva 定理还有角元形式

$${\displaystyle \frac{\sin \mathrm{\angle }BAD}{\sin \mathrm{\angle }CAD}}\cdot {\displaystyle \frac{\sin \mathrm{\angle }CBE}{\sin \mathrm{\angle }ABE}}\cdot {\displaystyle \frac{\sin \mathrm{\angle }ACF}{\sin \mathrm{\angle }BCF}}=1$$

证明过程与边元形式大致相同。

证明过程都是充要的，故 Ceva 定理可逆用。

Pascal 定理

二次曲线任意内接六边形的所有对边交点共线。

$P,Q,R$ 共线。

证

由射影几何知识得，只需要讨论圆，其余二次曲线可由圆推广。

$P,Q,R$ 共线 $\Rightarrow PQ,BC,EF$ 共点。

在 $\mathrm{\Delta }ADQ$ 中，由 Ceva 定理 得

$${\displaystyle \frac{\sin \mathrm{\angle }1}{\sin \mathrm{\angle }2}}\cdot {\displaystyle \frac{\sin \mathrm{\angle }3}{\sin \mathrm{\angle }4}}\cdot {\displaystyle \frac{\sin \mathrm{\angle }5}{\sin \mathrm{\angle }6}}=1$$

由圆周角定理得

$$\mathrm{\angle }n=\mathrm{\angle }{n}^{\prime }(n=1,2,3,4,5,6)$$

故在 $\mathrm{\Delta }CFQ$ 中有

$${\displaystyle \frac{\sin \mathrm{\angle }{1}^{\prime }}{\sin \mathrm{\angle }{2}^{\prime }}}\cdot {\displaystyle \frac{\sin \mathrm{\angle }{3}^{\prime }}{\sin \mathrm{\angle }{4}^{\prime }}}\cdot {\displaystyle \frac{\sin \mathrm{\angle }{5}^{\prime }}{\sin \mathrm{\angle }{6}^{\prime }}}=1$$

由 Ceva 定理 逆定理得 $PQ,BC,EF$ 共点。即证。

证明

移动 Pascal 定理 中六个顶点的位置。$P,Q,R$ 始终共线。

当 $B,C$ 重合，$E,F$ 重合时，直线 $BR,ER$ 为椭圆的切线，$R$ 为切线交点。

同理，再将 $B,A$ 和 $E,D$ 移动至重合。

结合前两图得：椭圆任意内接四边形（如下图）有 $M,I,P,J$ 共线。

其中 $I$ 为 $AB$ 极点，$J$ 为 $CD$ 极点。由 极点极线方程 知识得

$$AB:{\displaystyle \frac{x_{I}x}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_{I}y}{b^2}}=1$$$$CD:{\displaystyle \frac{x_{J}x}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_{J}y}{b^2}}=1$$

由 $AB,CD$ 交于 $N$，将 $N$ 点坐标代入得

$$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x_I{x}_N}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_I{y}_N}{b^2}}=1\\ {\displaystyle \frac{x_J{x}_N}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_J{y}_N}{b^2}}=1\end{array}$$

故 $I,J$ 为方程 ${\displaystyle \frac{x_{N}x}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_{N}y}{b^2}}=1$ 的两解，即 $N$ 的极线过 $I,J$。故 $MP$ 为 $N$ 的极线。

同理得 $MN$ 为 $P$ 的极线，$NP$ 为 $M$ 的极线。

证毕。

例

例 1

$P(p,0)$ 为定点，$E$ 的运动轨迹为 $P$ 的极线。

$${\displaystyle \frac{px}{a^2}}+{\displaystyle \frac{0}{b^2}}=1\Rightarrow x={\displaystyle \frac{a^2}{p}}$$

例 2

$P(m,n)$ 为定点，$E$ 的运动轨迹为 $P$ 的极线。

$${\displaystyle \frac{mx}{a^2}}+{\displaystyle \frac{ny}{b^2}}=1$$

例 3

$Q$ 的运动轨迹为 $P$ 的极线。

设 $P(0,p)$，则 $Q$ 的轨迹方程为

$${\displaystyle \frac{0}{a^2}}+{\displaystyle \frac{py}{b^2}}=1\Rightarrow y={\displaystyle \frac{b^2}{p}}$$

故

$$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=(0,p)\cdot (x_Q,{\displaystyle \frac{b^2}{p}})=b^2$$